Resolver {l}{a=b}{a+b=5}

$$\left. \begin{array} { l } { a = b } \\ { a + b = 5 } \end{array} \right.$$

Resolver a, b

$$a = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$b = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta b en ambos lados.

$$a-b=0$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$a-b=0,a+b=5$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a a mediante o illamento de a no lado esquerdo do signo igual.

$$a-b=0$$

Suma b en ambos lados da ecuación.

$$a=b$$

Substitúe a por b na outra ecuación, a+b=5.

$$b+b=5$$

Suma b a b.

$$2b=5$$

Divide ambos lados entre 2.

$$b=\frac{5}{2}$$

Substitúe b por \frac{5}{2} en a=b. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$a=\frac{5}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=\frac{5}{2},b=\frac{5}{2}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta b en ambos lados.

$$a-b=0$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$a-b=0,a+b=5$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 5\\\frac{1}{2}\times 5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz a e b.

$$a=\frac{5}{2},b=\frac{5}{2}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta b en ambos lados.

$$a-b=0$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$a-b=0,a+b=5$$

Resta a+b=5 de a-b=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$a-a-b-b=-5$$

Suma a a -a. a e -a anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-b-b=-5$$

Suma -b a -b.

$$-2b=-5$$

Divide ambos lados entre -2.

$$b=\frac{5}{2}$$

Substitúe b por \frac{5}{2} en a+b=5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$a+\frac{5}{2}=5$$

Resta \frac{5}{2} en ambos lados da ecuación.

$$a=\frac{5}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=\frac{5}{2},b=\frac{5}{2}$$