Resolver {l}{a=15-2b}{2a-5b=15-2a}

$$\left. \begin{array} { l } { a = 15 - 2 b } \\ { 2 a - 5 b = 15 - 2 a } \end{array} \right.$$

Resolver a, b

$$a = \frac{105}{13} = 8\frac{1}{13} \approx 8.076923077$$

$$b = \frac{45}{13} = 3\frac{6}{13} \approx 3.461538462$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 2b en ambos lados.

$$a+2b=15$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 2a en ambos lados.

$$2a-5b+2a=15$$

Combina 2a e 2a para obter 4a.

$$4a-5b=15$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$a+2b=15,4a-5b=15$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a a mediante o illamento de a no lado esquerdo do signo igual.

$$a+2b=15$$

Resta 2b en ambos lados da ecuación.

$$a=-2b+15$$

Substitúe a por -2b+15 na outra ecuación, 4a-5b=15.

$$4\left(-2b+15\right)-5b=15$$

Multiplica 4 por -2b+15.

$$-8b+60-5b=15$$

Suma -8b a -5b.

$$-13b+60=15$$

Resta 60 en ambos lados da ecuación.

$$-13b=-45$$

Divide ambos lados entre -13.

$$b=\frac{45}{13}$$

Substitúe b por \frac{45}{13} en a=-2b+15. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$a=-2\times \frac{45}{13}+15$$

Multiplica -2 por \frac{45}{13}.

$$a=-\frac{90}{13}+15$$

Suma 15 a -\frac{90}{13}.

$$a=\frac{105}{13}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=\frac{105}{13},b=\frac{45}{13}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 2b en ambos lados.

$$a+2b=15$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 2a en ambos lados.

$$2a-5b+2a=15$$

Combina 2a e 2a para obter 4a.

$$4a-5b=15$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$a+2b=15,4a-5b=15$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-5-2\times 4}&-\frac{2}{-5-2\times 4}\\-\frac{4}{-5-2\times 4}&\frac{1}{-5-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}&\frac{2}{13}\\\frac{4}{13}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}\times 15+\frac{2}{13}\times 15\\\frac{4}{13}\times 15-\frac{1}{13}\times 15\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{105}{13}\\\frac{45}{13}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz a e b.

$$a=\frac{105}{13},b=\frac{45}{13}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 2b en ambos lados.

$$a+2b=15$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 2a en ambos lados.

$$2a-5b+2a=15$$

Combina 2a e 2a para obter 4a.

$$4a-5b=15$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$a+2b=15,4a-5b=15$$

Para que a e 4a sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$4a+4\times 2b=4\times 15,4a-5b=15$$

Simplifica.

$$4a+8b=60,4a-5b=15$$

Resta 4a-5b=15 de 4a+8b=60 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$4a-4a+8b+5b=60-15$$

Suma 4a a -4a. 4a e -4a anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$8b+5b=60-15$$

Suma 8b a 5b.

$$13b=60-15$$

Suma 60 a -15.

$$13b=45$$

Divide ambos lados entre 13.

$$b=\frac{45}{13}$$

Substitúe b por \frac{45}{13} en 4a-5b=15. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$4a-5\times \frac{45}{13}=15$$

Multiplica -5 por \frac{45}{13}.

$$4a-\frac{225}{13}=15$$

Suma \frac{225}{13} en ambos lados da ecuación.

$$4a=\frac{420}{13}$$

Divide ambos lados entre 4.

$$a=\frac{105}{13}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=\frac{105}{13},b=\frac{45}{13}$$