Resolver {l}{a+b=4}{2a-b=1}

$$\left. \begin{array} { l } { a + b = 4 } \\ { 2 a - b = 1 } \end{array} \right.$$

Resolver a, b

$$a = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$b = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.333333333$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$a+b=4,2a-b=1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a a mediante o illamento de a no lado esquerdo do signo igual.

$$a+b=4$$

Resta b en ambos lados da ecuación.

$$a=-b+4$$

Substitúe a por -b+4 na outra ecuación, 2a-b=1.

$$2\left(-b+4\right)-b=1$$

Multiplica 2 por -b+4.

$$-2b+8-b=1$$

Suma -2b a -b.

$$-3b+8=1$$

Resta 8 en ambos lados da ecuación.

$$-3b=-7$$

Divide ambos lados entre -3.

$$b=\frac{7}{3}$$

Substitúe b por \frac{7}{3} en a=-b+4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$a=-\frac{7}{3}+4$$

Suma 4 a -\frac{7}{3}.

$$a=\frac{5}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=\frac{5}{3},b=\frac{7}{3}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$a+b=4,2a-b=1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{1}{-1-2}\\-\frac{2}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 4+\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}\times 4-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\\frac{7}{3}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz a e b.

$$a=\frac{5}{3},b=\frac{7}{3}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$a+b=4,2a-b=1$$

Para que a e 2a sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$2a+2b=2\times 4,2a-b=1$$

Simplifica.

$$2a+2b=8,2a-b=1$$

Resta 2a-b=1 de 2a+2b=8 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2a-2a+2b+b=8-1$$

Suma 2a a -2a. 2a e -2a anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2b+b=8-1$$

Suma 2b a b.

$$3b=8-1$$

Suma 8 a -1.

$$3b=7$$

Divide ambos lados entre 3.

$$b=\frac{7}{3}$$

Substitúe b por \frac{7}{3} en 2a-b=1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$2a-\frac{7}{3}=1$$

Suma \frac{7}{3} en ambos lados da ecuación.

$$2a=\frac{10}{3}$$

Divide ambos lados entre 2.

$$a=\frac{5}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=\frac{5}{3},b=\frac{7}{3}$$