Resolver {l}{Q=100-2p}{Q=40+p}

$$\left. \begin{array} { l } { Q = 100 - 2 p } \\ { Q = 40 + p } \end{array} \right.$$

Resolver Q, p

$$Q=60$$

$$p=20$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 2p en ambos lados.

$$Q+2p=100$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta p en ambos lados.

$$Q-p=40$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$Q+2p=100,Q-p=40$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a Q mediante o illamento de Q no lado esquerdo do signo igual.

$$Q+2p=100$$

Resta 2p en ambos lados da ecuación.

$$Q=-2p+100$$

Substitúe Q por -2p+100 na outra ecuación, Q-p=40.

$$-2p+100-p=40$$

Suma -2p a -p.

$$-3p+100=40$$

Resta 100 en ambos lados da ecuación.

$$-3p=-60$$

Divide ambos lados entre -3.

$$p=20$$

Substitúe p por 20 en Q=-2p+100. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar Q directamente.

$$Q=-2\times 20+100$$

Multiplica -2 por 20.

$$Q=-40+100$$

Suma 100 a -40.

$$Q=60$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$Q=60,p=20$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 2p en ambos lados.

$$Q+2p=100$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta p en ambos lados.

$$Q-p=40$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$Q+2p=100,Q-p=40$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}Q\\p\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\40\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}Q\\p\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\40\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}Q\\p\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\40\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}Q\\p\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\40\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}Q\\p\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{2}{-1-2}\\-\frac{1}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\40\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}Q\\p\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\40\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}Q\\p\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 100+\frac{2}{3}\times 40\\\frac{1}{3}\times 100-\frac{1}{3}\times 40\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}Q\\p\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}60\\20\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz Q e p.

$$Q=60,p=20$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 2p en ambos lados.

$$Q+2p=100$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta p en ambos lados.

$$Q-p=40$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$Q+2p=100,Q-p=40$$

Resta Q-p=40 de Q+2p=100 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$Q-Q+2p+p=100-40$$

Suma Q a -Q. Q e -Q anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2p+p=100-40$$

Suma 2p a p.

$$3p=100-40$$

Suma 100 a -40.

$$3p=60$$

Divide ambos lados entre 3.

$$p=20$$

Substitúe p por 20 en Q-p=40. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar Q directamente.

$$Q-20=40$$

Suma 20 en ambos lados da ecuación.

$$Q=60$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$Q=60,p=20$$