Resolver {l}{Cx+y=69}{2x+y=87}

$$\left. \begin{array} { l } { C x + y = 69 } \\ { 2 x + y = 87 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-\frac{18}{C-2}$$

$$y=-\frac{3\left(46-29C\right)}{C-2}$$

$$C\neq 2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$Cx+y=69,2x+y=87$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$Cx+y=69$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$Cx=-y+69$$

Divide ambos lados entre C.

$$x=\frac{1}{C}\left(-y+69\right)$$

Multiplica \frac{1}{C} por -y+69.

$$x=\left(-\frac{1}{C}\right)y+\frac{69}{C}$$

Substitúe x por \frac{69-y}{C} na outra ecuación, 2x+y=87.

$$2\left(\left(-\frac{1}{C}\right)y+\frac{69}{C}\right)+y=87$$

Multiplica 2 por \frac{69-y}{C}.

$$\left(-\frac{2}{C}\right)y+\frac{138}{C}+y=87$$

Suma -\frac{2y}{C} a y.

$$\frac{C-2}{C}y+\frac{138}{C}=87$$

Resta \frac{138}{C} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{C-2}{C}y=87-\frac{138}{C}$$

Divide ambos lados entre \frac{-2+C}{C}.

$$y=\frac{3\left(29C-46\right)}{C-2}$$

Substitúe y por \frac{3\left(-46+29C\right)}{-2+C} en x=\left(-\frac{1}{C}\right)y+\frac{69}{C}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\left(-\frac{1}{C}\right)\times \frac{3\left(29C-46\right)}{C-2}+\frac{69}{C}$$

Multiplica -\frac{1}{C} por \frac{3\left(-46+29C\right)}{-2+C}.

$$x=-\frac{3\left(29C-46\right)}{C\left(C-2\right)}+\frac{69}{C}$$

Suma \frac{69}{C} a -\frac{3\left(-46+29C\right)}{C\left(-2+C\right)}.

$$x=-\frac{18}{C-2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{18}{C-2},y=\frac{3\left(29C-46\right)}{C-2}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$Cx+y=69,2x+y=87$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}C&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}C&1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}C&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}C&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}C&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}C&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}C&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{C-2}&-\frac{1}{C-2}\\-\frac{2}{C-2}&\frac{C}{C-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{C-2}\times 69+\left(-\frac{1}{C-2}\right)\times 87\\\left(-\frac{2}{C-2}\right)\times 69+\frac{C}{C-2}\times 87\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{18}{C-2}\\\frac{3\left(29C-46\right)}{C-2}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{18}{C-2},y=\frac{3\left(29C-46\right)}{C-2}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$Cx+y=69,2x+y=87$$

Resta 2x+y=87 de Cx+y=69 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$Cx-2x+y-y=69-87$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$Cx-2x=69-87$$

Suma Cx a -2x.

$$\left(C-2\right)x=69-87$$

Suma 69 a -87.

$$\left(C-2\right)x=-18$$

Divide ambos lados entre C-2.

$$x=-\frac{18}{C-2}$$

Substitúe x por -\frac{18}{C-2} en 2x+y=87. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$2\left(-\frac{18}{C-2}\right)+y=87$$

Multiplica 2 por -\frac{18}{C-2}.

$$-\frac{36}{C-2}+y=87$$

Suma \frac{36}{C-2} en ambos lados da ecuación.

$$y=\frac{3\left(29C-46\right)}{C-2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{18}{C-2},y=\frac{3\left(29C-46\right)}{C-2}$$