Resolver {l}{Ax+By=C}{Dx+Cy=F}

$$\left. \begin{array} { l } { A x + B y = C } \\ { D x + C y = F } \end{array} \right.$$

Resolver x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{BF-C^{2}}{AC-BD}\text{, }y=-\frac{CD-AF}{AC-BD}\text{, }&\left(B\neq 0\text{ or }C\neq 0\right)\text{ and }\left(C\neq 0\text{ or }D\neq 0\right)\text{ and }\left(C=0\text{ or }A\neq \frac{BD}{C}\text{ or }B=0\text{ or }D=0\right)\text{ and }A\neq 0\\x=-\frac{By-C}{A}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&A\neq 0\text{ and }F=\frac{BD^{2}}{A^{2}}\text{ and }C=\frac{BD}{A}\\x=\frac{BF-C^{2}}{BD}\text{, }y=\frac{C}{B}\text{, }&A=0\text{ and }D\neq 0\text{ and }B\neq 0\\x=\frac{F}{D}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&A=0\text{ and }D\neq 0\text{ and }C=0\text{ and }B=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=B^{-\frac{1}{2}}\sqrt{F}\text{, }&A=0\text{ and }D=0\text{ and }B\neq 0\text{ and }C=\sqrt{B}\sqrt{F}\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=-B^{-\frac{1}{2}}\sqrt{F}\text{, }&A=0\text{ and }D=0\text{ and }B\neq 0\text{ and }C=-\sqrt{B}\sqrt{F}\\x\in \mathrm{C}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&A=0\text{ and }D=0\text{ and }F=0\text{ and }B=0\text{ and }C=0\end{matrix}\right.$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$Ax+By=C,Dx+Cy=F$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$Ax+By=C$$

Resta By en ambos lados da ecuación.

$$Ax=\left(-B\right)y+C$$

Divide ambos lados entre A.

$$x=\frac{1}{A}\left(\left(-B\right)y+C\right)$$

Multiplica \frac{1}{A} por -By+C.

$$x=\left(-\frac{B}{A}\right)y+\frac{C}{A}$$

Substitúe x por \frac{-By+C}{A} na outra ecuación, Dx+Cy=F.

$$D\left(\left(-\frac{B}{A}\right)y+\frac{C}{A}\right)+Cy=F$$

Multiplica D por \frac{-By+C}{A}.

$$\left(-\frac{BD}{A}\right)y+\frac{CD}{A}+Cy=F$$

Suma -\frac{DBy}{A} a Cy.

$$\left(-\frac{BD}{A}+C\right)y+\frac{CD}{A}=F$$

Resta \frac{DC}{A} en ambos lados da ecuación.

$$\left(-\frac{BD}{A}+C\right)y=-\frac{CD}{A}+F$$

Divide ambos lados entre C-\frac{DB}{A}.

$$y=\frac{AF-CD}{AC-BD}$$

Substitúe y por \frac{FA-DC}{CA-DB} en x=\left(-\frac{B}{A}\right)y+\frac{C}{A}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\left(-\frac{B}{A}\right)\times \frac{AF-CD}{AC-BD}+\frac{C}{A}$$

Multiplica -\frac{B}{A} por \frac{FA-DC}{CA-DB}.

$$x=-\frac{B\left(AF-CD\right)}{A\left(AC-BD\right)}+\frac{C}{A}$$

Suma \frac{C}{A} a -\frac{B\left(FA-DC\right)}{A\left(CA-DB\right)}.

$$x=\frac{C^{2}-BF}{AC-BD}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{C^{2}-BF}{AC-BD},y=\frac{AF-CD}{AC-BD}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$Ax+By=C,Dx+Cy=F$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{C}{AC-BD}&-\frac{B}{AC-BD}\\-\frac{D}{AC-BD}&\frac{A}{AC-BD}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{C}{AC-BD}C+\left(-\frac{B}{AC-BD}\right)F\\\left(-\frac{D}{AC-BD}\right)C+\frac{A}{AC-BD}F\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{BF-C^{2}}{BD-AC}\\\frac{CD-AF}{BD-AC}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{BF-C^{2}}{BD-AC},y=\frac{CD-AF}{BD-AC}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$Ax+By=C,Dx+Cy=F$$

Para que Ax e Dx sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por D e todos os termos a cada lado da segunda por A.

$$DAx+DBy=DC,ADx+ACy=AF$$

Simplifica.

$$ADx+BDy=CD,ADx+ACy=AF$$

Resta ADx+ACy=AF de ADx+BDy=CD mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$ADx+\left(-AD\right)x+BDy+\left(-AC\right)y=CD-AF$$

Suma DAx a -DAx. DAx e -DAx anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$BDy+\left(-AC\right)y=CD-AF$$

Suma DBy a -ACy.

$$\left(BD-AC\right)y=CD-AF$$

Divide ambos lados entre DB-AC.

$$y=\frac{CD-AF}{BD-AC}$$

Substitúe y por \frac{DC-AF}{DB-AC} en Dx+Cy=F. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$Dx+C\times \frac{CD-AF}{BD-AC}=F$$

Multiplica C por \frac{DC-AF}{DB-AC}.

$$Dx+\frac{C\left(CD-AF\right)}{BD-AC}=F$$

Resta \frac{C\left(DC-AF\right)}{DB-AC} en ambos lados da ecuación.

$$Dx=\frac{D\left(BF-C^{2}\right)}{BD-AC}$$

Divide ambos lados entre D.

$$x=\frac{BF-C^{2}}{BD-AC}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{BF-C^{2}}{BD-AC},y=\frac{CD-AF}{BD-AC}$$