Resolver {l}{A=90800+0.15B}{B=23600+0.2A}

$$\left. \begin{array} { l } { A = 90800 + 0.15 B } \\ { B = 23600 + 0.2 A } \end{array} \right.$$

Resolver A, B

$$A = \frac{9434000}{97} = 97257\frac{71}{97} \approx 97257.731958763$$

$$B = \frac{4176000}{97} = 43051\frac{53}{97} \approx 43051.546391753$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 0.15B en ambos lados.

$$A-0.15B=90800$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 0.2A en ambos lados.

$$B-0.2A=23600$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$A-0.15B=90800,-0.2A+B=23600$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a A mediante o illamento de A no lado esquerdo do signo igual.

$$A-0.15B=90800$$

Suma \frac{3B}{20} en ambos lados da ecuación.

$$A=0.15B+90800$$

Substitúe A por \frac{3B}{20}+90800 na outra ecuación, -0.2A+B=23600.

$$-0.2\left(0.15B+90800\right)+B=23600$$

Multiplica -0.2 por \frac{3B}{20}+90800.

$$-0.03B-18160+B=23600$$

Suma -\frac{3B}{100} a B.

$$0.97B-18160=23600$$

Suma 18160 en ambos lados da ecuación.

$$0.97B=41760$$

Divide ambos lados da ecuación entre 0.97, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$B=\frac{4176000}{97}$$

Substitúe B por \frac{4176000}{97} en A=0.15B+90800. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar A directamente.

$$A=0.15\times \frac{4176000}{97}+90800$$

Multiplica 0.15 por \frac{4176000}{97} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$A=\frac{626400}{97}+90800$$

Suma 90800 a \frac{626400}{97}.

$$A=\frac{9434000}{97}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$A=\frac{9434000}{97},B=\frac{4176000}{97}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 0.15B en ambos lados.

$$A-0.15B=90800$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 0.2A en ambos lados.

$$B-0.2A=23600$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$A-0.15B=90800,-0.2A+B=23600$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-0.15\\-0.2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}90800\\23600\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-0.15\\-0.2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.15\\-0.2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-0.15\\-0.2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.15\\-0.2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90800\\23600\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.15\\-0.2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90800\\23600\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.15\\-0.2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90800\\23600\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-0.15\left(-0.2\right)\right)}&-\frac{-0.15}{1-\left(-0.15\left(-0.2\right)\right)}\\-\frac{-0.2}{1-\left(-0.15\left(-0.2\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-0.15\left(-0.2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90800\\23600\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{100}{97}&\frac{15}{97}\\\frac{20}{97}&\frac{100}{97}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90800\\23600\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{100}{97}\times 90800+\frac{15}{97}\times 23600\\\frac{20}{97}\times 90800+\frac{100}{97}\times 23600\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9434000}{97}\\\frac{4176000}{97}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz A e B.

$$A=\frac{9434000}{97},B=\frac{4176000}{97}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 0.15B en ambos lados.

$$A-0.15B=90800$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 0.2A en ambos lados.

$$B-0.2A=23600$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$A-0.15B=90800,-0.2A+B=23600$$

Para que A e -\frac{A}{5} sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -0.2 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$-0.2A-0.2\left(-0.15\right)B=-0.2\times 90800,-0.2A+B=23600$$

Simplifica.

$$-0.2A+0.03B=-18160,-0.2A+B=23600$$

Resta -0.2A+B=23600 de -0.2A+0.03B=-18160 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-0.2A+0.2A+0.03B-B=-18160-23600$$

Suma -\frac{A}{5} a \frac{A}{5}. -\frac{A}{5} e \frac{A}{5} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$0.03B-B=-18160-23600$$

Suma \frac{3B}{100} a -B.

$$-0.97B=-18160-23600$$

Suma -18160 a -23600.

$$-0.97B=-41760$$

Divide ambos lados da ecuación entre -0.97, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$B=\frac{4176000}{97}$$

Substitúe B por \frac{4176000}{97} en -0.2A+B=23600. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar A directamente.

$$-0.2A+\frac{4176000}{97}=23600$$

Resta \frac{4176000}{97} en ambos lados da ecuación.

$$-0.2A=-\frac{1886800}{97}$$

Multiplica ambos lados por -5.

$$A=\frac{9434000}{97}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$A=\frac{9434000}{97},B=\frac{4176000}{97}$$