Resolver {l}{A+B+1=0}{A-2B=3}

$$\left. \begin{array} { l } { A + B + 1 = 0 } \\ { A - 2 B = 3 } \end{array} \right.$$

Resolver A, B

$$A=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$B = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$A+B+1=0,A-2B=3$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a A mediante o illamento de A no lado esquerdo do signo igual.

$$A+B+1=0$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$A+B=-1$$

Resta B en ambos lados da ecuación.

$$A=-B-1$$

Substitúe A por -B-1 na outra ecuación, A-2B=3.

$$-B-1-2B=3$$

Suma -B a -2B.

$$-3B-1=3$$

Suma 1 en ambos lados da ecuación.

$$-3B=4$$

Divide ambos lados entre -3.

$$B=-\frac{4}{3}$$

Substitúe B por -\frac{4}{3} en A=-B-1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar A directamente.

$$A=-\left(-\frac{4}{3}\right)-1$$

Multiplica -1 por -\frac{4}{3}.

$$A=\frac{4}{3}-1$$

Suma -1 a \frac{4}{3}.

$$A=\frac{1}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$A=\frac{1}{3},B=-\frac{4}{3}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$A+B+1=0,A-2B=3$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-1}&-\frac{1}{-2-1}\\-\frac{1}{-2-1}&\frac{1}{-2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\left(-1\right)+\frac{1}{3}\times 3\\\frac{1}{3}\left(-1\right)-\frac{1}{3}\times 3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz A e B.

$$A=\frac{1}{3},B=-\frac{4}{3}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$A+B+1=0,A-2B=3$$

Resta A-2B=3 de A+B+1=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$A-A+B+2B+1=-3$$

Suma A a -A. A e -A anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$B+2B+1=-3$$

Suma B a 2B.

$$3B+1=-3$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$3B=-4$$

Divide ambos lados entre 3.

$$B=-\frac{4}{3}$$

Substitúe B por -\frac{4}{3} en A-2B=3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar A directamente.

$$A-2\left(-\frac{4}{3}\right)=3$$

Multiplica -2 por -\frac{4}{3}.

$$A+\frac{8}{3}=3$$

Resta \frac{8}{3} en ambos lados da ecuación.

$$A=\frac{1}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$A=\frac{1}{3},B=-\frac{4}{3}$$