Resolver {l}{9x-7y=-19}{3x+y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x - 7 y = - 19 } \\ { 3 x + y = 7 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=1$$

$$y=4$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$9x-7y=-19,3x+y=7$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$9x-7y=-19$$

Suma 7y en ambos lados da ecuación.

$$9x=7y-19$$

Divide ambos lados entre 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(7y-19\right)$$

Multiplica \frac{1}{9} por 7y-19.

$$x=\frac{7}{9}y-\frac{19}{9}$$

Substitúe x por \frac{7y-19}{9} na outra ecuación, 3x+y=7.

$$3\left(\frac{7}{9}y-\frac{19}{9}\right)+y=7$$

Multiplica 3 por \frac{7y-19}{9}.

$$\frac{7}{3}y-\frac{19}{3}+y=7$$

Suma \frac{7y}{3} a y.

$$\frac{10}{3}y-\frac{19}{3}=7$$

Suma \frac{19}{3} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{10}{3}y=\frac{40}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{10}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=4$$

Substitúe y por 4 en x=\frac{7}{9}y-\frac{19}{9}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{7}{9}\times 4-\frac{19}{9}$$

Multiplica \frac{7}{9} por 4.

$$x=\frac{28-19}{9}$$

Suma -\frac{19}{9} a \frac{28}{9} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=4$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$9x-7y=-19,3x+y=7$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-19\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\7\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\7\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9-\left(-7\times 3\right)}&-\frac{-7}{9-\left(-7\times 3\right)}\\-\frac{3}{9-\left(-7\times 3\right)}&\frac{9}{9-\left(-7\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-19\\7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{30}&\frac{7}{30}\\-\frac{1}{10}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-19\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{30}\left(-19\right)+\frac{7}{30}\times 7\\-\frac{1}{10}\left(-19\right)+\frac{3}{10}\times 7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=1,y=4$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$9x-7y=-19,3x+y=7$$

Para que 9x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 9.

$$3\times 9x+3\left(-7\right)y=3\left(-19\right),9\times 3x+9y=9\times 7$$

Simplifica.

$$27x-21y=-57,27x+9y=63$$

Resta 27x+9y=63 de 27x-21y=-57 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$27x-27x-21y-9y=-57-63$$

Suma 27x a -27x. 27x e -27x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-21y-9y=-57-63$$

Suma -21y a -9y.

$$-30y=-57-63$$

Suma -57 a -63.

$$-30y=-120$$

Divide ambos lados entre -30.

$$y=4$$

Substitúe y por 4 en 3x+y=7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x+4=7$$

Resta 4 en ambos lados da ecuación.

$$3x=3$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=4$$