Resolver {l}{9x-4y=7}{x-4y=-17}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x - 4 y = 7 } \\ { x - 4 y = - 17 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=3$$

$$y=5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$9x-4y=7,x-4y=-17$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$9x-4y=7$$

Suma 4y en ambos lados da ecuación.

$$9x=4y+7$$

Divide ambos lados entre 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(4y+7\right)$$

Multiplica \frac{1}{9} por 4y+7.

$$x=\frac{4}{9}y+\frac{7}{9}$$

Substitúe x por \frac{4y+7}{9} na outra ecuación, x-4y=-17.

$$\frac{4}{9}y+\frac{7}{9}-4y=-17$$

Suma \frac{4y}{9} a -4y.

$$-\frac{32}{9}y+\frac{7}{9}=-17$$

Resta \frac{7}{9} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{32}{9}y=-\frac{160}{9}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{32}{9}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=5$$

Substitúe y por 5 en x=\frac{4}{9}y+\frac{7}{9}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{4}{9}\times 5+\frac{7}{9}$$

Multiplica \frac{4}{9} por 5.

$$x=\frac{20+7}{9}$$

Suma \frac{7}{9} a \frac{20}{9} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=5$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$9x-4y=7,x-4y=-17$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}9&-4\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-17\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}9&-4\\1&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-4\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-17\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-17\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-17\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{9\left(-4\right)-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{9\left(-4\right)-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{9\left(-4\right)-\left(-4\right)}&\frac{9}{9\left(-4\right)-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-17\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-\frac{1}{8}\\\frac{1}{32}&-\frac{9}{32}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-17\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 7-\frac{1}{8}\left(-17\right)\\\frac{1}{32}\times 7-\frac{9}{32}\left(-17\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=3,y=5$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$9x-4y=7,x-4y=-17$$

Resta x-4y=-17 de 9x-4y=7 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$9x-x-4y+4y=7+17$$

Suma -4y a 4y. -4y e 4y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$9x-x=7+17$$

Suma 9x a -x.

$$8x=7+17$$

Suma 7 a 17.

$$8x=24$$

Divide ambos lados entre 8.

$$x=3$$

Substitúe x por 3 en x-4y=-17. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$3-4y=-17$$

Resta 3 en ambos lados da ecuación.

$$-4y=-20$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=5$$