Resolver {l}{9x-3y-13=0}{2x+y-4=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x - 3 y - 13 = 0 } \\ { 2 x + y - 4 = 0 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$y=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$9x-3y-13=0,2x+y-4=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$9x-3y-13=0$$

Suma 13 en ambos lados da ecuación.

$$9x-3y=13$$

Suma 3y en ambos lados da ecuación.

$$9x=3y+13$$

Divide ambos lados entre 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(3y+13\right)$$

Multiplica \frac{1}{9} por 3y+13.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{13}{9}$$

Substitúe x por \frac{y}{3}+\frac{13}{9} na outra ecuación, 2x+y-4=0.

$$2\left(\frac{1}{3}y+\frac{13}{9}\right)+y-4=0$$

Multiplica 2 por \frac{y}{3}+\frac{13}{9}.

$$\frac{2}{3}y+\frac{26}{9}+y-4=0$$

Suma \frac{2y}{3} a y.

$$\frac{5}{3}y+\frac{26}{9}-4=0$$

Suma \frac{26}{9} a -4.

$$\frac{5}{3}y-\frac{10}{9}=0$$

Suma \frac{10}{9} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{5}{3}y=\frac{10}{9}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{5}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{2}{3}$$

Substitúe y por \frac{2}{3} en x=\frac{1}{3}y+\frac{13}{9}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}+\frac{13}{9}$$

Multiplica \frac{1}{3} por \frac{2}{3} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{2+13}{9}$$

Suma \frac{13}{9} a \frac{2}{9} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{5}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{2}{3}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$9x-3y-13=0,2x+y-4=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{9-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{9-\left(-3\times 2\right)}&\frac{9}{9-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&\frac{1}{5}\\-\frac{2}{15}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 13+\frac{1}{5}\times 4\\-\frac{2}{15}\times 13+\frac{3}{5}\times 4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{2}{3}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$9x-3y-13=0,2x+y-4=0$$

Para que 9x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 9.

$$2\times 9x+2\left(-3\right)y+2\left(-13\right)=0,9\times 2x+9y+9\left(-4\right)=0$$

Simplifica.

$$18x-6y-26=0,18x+9y-36=0$$

Resta 18x+9y-36=0 de 18x-6y-26=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$18x-18x-6y-9y-26+36=0$$

Suma 18x a -18x. 18x e -18x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-6y-9y-26+36=0$$

Suma -6y a -9y.

$$-15y-26+36=0$$

Suma -26 a 36.

$$-15y+10=0$$

Resta 10 en ambos lados da ecuación.

$$-15y=-10$$

Divide ambos lados entre -15.

$$y=\frac{2}{3}$$

Substitúe y por \frac{2}{3} en 2x+y-4=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x+\frac{2}{3}-4=0$$

Suma \frac{2}{3} a -4.

$$2x-\frac{10}{3}=0$$

Suma \frac{10}{3} en ambos lados da ecuación.

$$2x=\frac{10}{3}$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{5}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{2}{3}$$