Resolver {l}{9x+y=88}{7x-8y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + y = 88 } \\ { 7 x - 8 y = 7 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=9$$

$$y=7$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$9x+y=88,7x-8y=7$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$9x+y=88$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$9x=-y+88$$

Divide ambos lados entre 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(-y+88\right)$$

Multiplica \frac{1}{9} por -y+88.

$$x=-\frac{1}{9}y+\frac{88}{9}$$

Substitúe x por \frac{-y+88}{9} na outra ecuación, 7x-8y=7.

$$7\left(-\frac{1}{9}y+\frac{88}{9}\right)-8y=7$$

Multiplica 7 por \frac{-y+88}{9}.

$$-\frac{7}{9}y+\frac{616}{9}-8y=7$$

Suma -\frac{7y}{9} a -8y.

$$-\frac{79}{9}y+\frac{616}{9}=7$$

Resta \frac{616}{9} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{79}{9}y=-\frac{553}{9}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{79}{9}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=7$$

Substitúe y por 7 en x=-\frac{1}{9}y+\frac{88}{9}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{9}\times 7+\frac{88}{9}$$

Multiplica -\frac{1}{9} por 7.

$$x=\frac{-7+88}{9}$$

Suma \frac{88}{9} a -\frac{7}{9} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=9$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=9,y=7$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$9x+y=88,7x-8y=7$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{9\left(-8\right)-7}&-\frac{1}{9\left(-8\right)-7}\\-\frac{7}{9\left(-8\right)-7}&\frac{9}{9\left(-8\right)-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{79}&\frac{1}{79}\\\frac{7}{79}&-\frac{9}{79}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{79}\times 88+\frac{1}{79}\times 7\\\frac{7}{79}\times 88-\frac{9}{79}\times 7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=9,y=7$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$9x+y=88,7x-8y=7$$

Para que 9x e 7x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 7 e todos os termos a cada lado da segunda por 9.

$$7\times 9x+7y=7\times 88,9\times 7x+9\left(-8\right)y=9\times 7$$

Simplifica.

$$63x+7y=616,63x-72y=63$$

Resta 63x-72y=63 de 63x+7y=616 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$63x-63x+7y+72y=616-63$$

Suma 63x a -63x. 63x e -63x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$7y+72y=616-63$$

Suma 7y a 72y.

$$79y=616-63$$

Suma 616 a -63.

$$79y=553$$

Divide ambos lados entre 79.

$$y=7$$

Substitúe y por 7 en 7x-8y=7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$7x-8\times 7=7$$

Multiplica -8 por 7.

$$7x-56=7$$

Suma 56 en ambos lados da ecuación.

$$7x=63$$

Divide ambos lados entre 7.

$$x=9$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=9,y=7$$