Resolver {l}{9x+my+3=0}{mx+4y+2=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + m y + 3 = 0 } \\ { m x + 4 y + 2 = 0 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2}{m+6}\text{, }y=-\frac{3}{m+6}\text{, }&m\neq -6\\x=\frac{-2y-1}{3}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&m=6\end{matrix}\right.$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$9x+my+3=0$$

Resta 3 en ambos lados da ecuación.

$$9x+my=-3$$

Resta my en ambos lados da ecuación.

$$9x=\left(-m\right)y-3$$

Divide ambos lados entre 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(\left(-m\right)y-3\right)$$

Multiplica \frac{1}{9} por -my-3.

$$x=\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}$$

Substitúe x por -\frac{my}{9}-\frac{1}{3} na outra ecuación, mx+4y+2=0.

$$m\left(\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}\right)+4y+2=0$$

Multiplica m por -\frac{my}{9}-\frac{1}{3}.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}\right)y-\frac{m}{3}+4y+2=0$$

Suma -\frac{m^{2}y}{9} a 4y.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}+4\right)y-\frac{m}{3}+2=0$$

Resta -\frac{m}{3}+2 en ambos lados da ecuación.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}+4\right)y=\frac{m}{3}-2$$

Divide ambos lados entre -\frac{m^{2}}{9}+4.

$$y=-\frac{3}{m+6}$$

Substitúe y por -\frac{3}{6+m} en x=\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\left(-\frac{m}{9}\right)\left(-\frac{3}{m+6}\right)-\frac{1}{3}$$

Multiplica -\frac{m}{9} por -\frac{3}{6+m}.

$$x=\frac{m}{3\left(m+6\right)}-\frac{1}{3}$$

Suma -\frac{1}{3} a \frac{m}{3\left(6+m\right)}.

$$x=-\frac{2}{m+6}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9\times 4-mm}&-\frac{m}{9\times 4-mm}\\-\frac{m}{9\times 4-mm}&\frac{9}{9\times 4-mm}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{36-m^{2}}&-\frac{m}{36-m^{2}}\\-\frac{m}{36-m^{2}}&\frac{9}{36-m^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{36-m^{2}}\left(-3\right)+\left(-\frac{m}{36-m^{2}}\right)\left(-2\right)\\\left(-\frac{m}{36-m^{2}}\right)\left(-3\right)+\frac{9}{36-m^{2}}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{m+6}\\-\frac{3}{m+6}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

Para que 9x e mx sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por m e todos os termos a cada lado da segunda por 9.

$$m\times 9x+mmy+m\times 3=0,9mx+9\times 4y+9\times 2=0$$

Simplifica.

$$9mx+m^{2}y+3m=0,9mx+36y+18=0$$

Resta 9mx+36y+18=0 de 9mx+m^{2}y+3m=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$9mx+\left(-9m\right)x+m^{2}y-36y+3m-18=0$$

Suma 9mx a -9mx. 9mx e -9mx anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$m^{2}y-36y+3m-18=0$$

Suma m^{2}y a -36y.

$$\left(m^{2}-36\right)y+3m-18=0$$

Resta -18+3m en ambos lados da ecuación.

$$\left(m^{2}-36\right)y=18-3m$$

Divide ambos lados entre m^{2}-36.

$$y=-\frac{3}{m+6}$$

Substitúe y por -\frac{3}{6+m} en mx+4y+2=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$mx+4\left(-\frac{3}{m+6}\right)+2=0$$

Multiplica 4 por -\frac{3}{6+m}.

$$mx-\frac{12}{m+6}+2=0$$

Suma -\frac{12}{6+m} a 2.

$$mx+\frac{2m}{m+6}=0$$

Resta \frac{2m}{6+m} en ambos lados da ecuación.

$$mx=-\frac{2m}{m+6}$$

Divide ambos lados entre m.

$$x=-\frac{2}{m+6}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

Resolver x, y

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2}{m+6}\text{, }y=-\frac{3}{m+6}\text{, }&|m|\neq 6\\x=\frac{-2y-1}{3}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&m=6\end{matrix}\right.$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$9x+my+3=0$$

Resta 3 en ambos lados da ecuación.

$$9x+my=-3$$

Resta my en ambos lados da ecuación.

$$9x=\left(-m\right)y-3$$

Divide ambos lados entre 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(\left(-m\right)y-3\right)$$

Multiplica \frac{1}{9} por -my-3.

$$x=\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}$$

Substitúe x por -\frac{my}{9}-\frac{1}{3} na outra ecuación, mx+4y+2=0.

$$m\left(\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}\right)+4y+2=0$$

Multiplica m por -\frac{my}{9}-\frac{1}{3}.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}\right)y-\frac{m}{3}+4y+2=0$$

Suma -\frac{m^{2}y}{9} a 4y.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}+4\right)y-\frac{m}{3}+2=0$$

Resta -\frac{m}{3}+2 en ambos lados da ecuación.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}+4\right)y=\frac{m}{3}-2$$

Divide ambos lados entre -\frac{m^{2}}{9}+4.

$$y=-\frac{3}{m+6}$$

Substitúe y por -\frac{3}{6+m} en x=\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\left(-\frac{m}{9}\right)\left(-\frac{3}{m+6}\right)-\frac{1}{3}$$

Multiplica -\frac{m}{9} por -\frac{3}{6+m}.

$$x=\frac{m}{3\left(m+6\right)}-\frac{1}{3}$$

Suma -\frac{1}{3} a \frac{m}{3\left(6+m\right)}.

$$x=-\frac{2}{m+6}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9\times 4-mm}&-\frac{m}{9\times 4-mm}\\-\frac{m}{9\times 4-mm}&\frac{9}{9\times 4-mm}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{36-m^{2}}&-\frac{m}{36-m^{2}}\\-\frac{m}{36-m^{2}}&\frac{9}{36-m^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{36-m^{2}}\left(-3\right)+\left(-\frac{m}{36-m^{2}}\right)\left(-2\right)\\\left(-\frac{m}{36-m^{2}}\right)\left(-3\right)+\frac{9}{36-m^{2}}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{m+6}\\-\frac{3}{m+6}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

Para que 9x e mx sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por m e todos os termos a cada lado da segunda por 9.

$$m\times 9x+mmy+m\times 3=0,9mx+9\times 4y+9\times 2=0$$

Simplifica.

$$9mx+m^{2}y+3m=0,9mx+36y+18=0$$

Resta 9mx+36y+18=0 de 9mx+m^{2}y+3m=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$9mx+\left(-9m\right)x+m^{2}y-36y+3m-18=0$$

Suma 9mx a -9mx. 9mx e -9mx anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$m^{2}y-36y+3m-18=0$$

Suma m^{2}y a -36y.

$$\left(m^{2}-36\right)y+3m-18=0$$

Resta -18+3m en ambos lados da ecuación.

$$\left(m^{2}-36\right)y=18-3m$$

Divide ambos lados entre m^{2}-36.

$$y=-\frac{3}{m+6}$$

Substitúe y por -\frac{3}{6+m} en mx+4y+2=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$mx+4\left(-\frac{3}{m+6}\right)+2=0$$

Multiplica 4 por -\frac{3}{6+m}.

$$mx-\frac{12}{m+6}+2=0$$

Suma -\frac{12}{6+m} a 2.

$$mx+\frac{2m}{m+6}=0$$

Resta \frac{2m}{6+m} en ambos lados da ecuación.

$$mx=-\frac{2m}{m+6}$$

Divide ambos lados entre m.

$$x=-\frac{2}{m+6}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$