Resolver {l}{9x+7y=6}{8x+3y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + 7 y = 6 } \\ { 8 x + 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{45}{29} = 1\frac{16}{29} \approx 1.551724138$$

$$y = -\frac{33}{29} = -1\frac{4}{29} \approx -1.137931034$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$9x+7y=6,8x+3y=9$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$9x+7y=6$$

Resta 7y en ambos lados da ecuación.

$$9x=-7y+6$$

Divide ambos lados entre 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(-7y+6\right)$$

Multiplica \frac{1}{9} por -7y+6.

$$x=-\frac{7}{9}y+\frac{2}{3}$$

Substitúe x por -\frac{7y}{9}+\frac{2}{3} na outra ecuación, 8x+3y=9.

$$8\left(-\frac{7}{9}y+\frac{2}{3}\right)+3y=9$$

Multiplica 8 por -\frac{7y}{9}+\frac{2}{3}.

$$-\frac{56}{9}y+\frac{16}{3}+3y=9$$

Suma -\frac{56y}{9} a 3y.

$$-\frac{29}{9}y+\frac{16}{3}=9$$

Resta \frac{16}{3} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{29}{9}y=\frac{11}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{29}{9}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{33}{29}$$

Substitúe y por -\frac{33}{29} en x=-\frac{7}{9}y+\frac{2}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{7}{9}\left(-\frac{33}{29}\right)+\frac{2}{3}$$

Multiplica -\frac{7}{9} por -\frac{33}{29} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{77}{87}+\frac{2}{3}$$

Suma \frac{2}{3} a \frac{77}{87} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{45}{29}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{45}{29},y=-\frac{33}{29}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$9x+7y=6,8x+3y=9$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{9\times 3-7\times 8}&-\frac{7}{9\times 3-7\times 8}\\-\frac{8}{9\times 3-7\times 8}&\frac{9}{9\times 3-7\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{29}&\frac{7}{29}\\\frac{8}{29}&-\frac{9}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{29}\times 6+\frac{7}{29}\times 9\\\frac{8}{29}\times 6-\frac{9}{29}\times 9\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{45}{29}\\-\frac{33}{29}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{45}{29},y=-\frac{33}{29}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$9x+7y=6,8x+3y=9$$

Para que 9x e 8x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 8 e todos os termos a cada lado da segunda por 9.

$$8\times 9x+8\times 7y=8\times 6,9\times 8x+9\times 3y=9\times 9$$

Simplifica.

$$72x+56y=48,72x+27y=81$$

Resta 72x+27y=81 de 72x+56y=48 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$72x-72x+56y-27y=48-81$$

Suma 72x a -72x. 72x e -72x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$56y-27y=48-81$$

Suma 56y a -27y.

$$29y=48-81$$

Suma 48 a -81.

$$29y=-33$$

Divide ambos lados entre 29.

$$y=-\frac{33}{29}$$

Substitúe y por -\frac{33}{29} en 8x+3y=9. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$8x+3\left(-\frac{33}{29}\right)=9$$

Multiplica 3 por -\frac{33}{29}.

$$8x-\frac{99}{29}=9$$

Suma \frac{99}{29} en ambos lados da ecuación.

$$8x=\frac{360}{29}$$

Divide ambos lados entre 8.

$$x=\frac{45}{29}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{45}{29},y=-\frac{33}{29}$$