Resolver {l}{9x+13y=9}{2x+y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + 13 y = 9 } \\ { 2 x + y = 11 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{134}{17} = 7\frac{15}{17} \approx 7.882352941$$

$$y = -\frac{81}{17} = -4\frac{13}{17} \approx -4.764705882$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$9x+13y=9,2x+y=11$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$9x+13y=9$$

Resta 13y en ambos lados da ecuación.

$$9x=-13y+9$$

Divide ambos lados entre 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(-13y+9\right)$$

Multiplica \frac{1}{9} por -13y+9.

$$x=-\frac{13}{9}y+1$$

Substitúe x por -\frac{13y}{9}+1 na outra ecuación, 2x+y=11.

$$2\left(-\frac{13}{9}y+1\right)+y=11$$

Multiplica 2 por -\frac{13y}{9}+1.

$$-\frac{26}{9}y+2+y=11$$

Suma -\frac{26y}{9} a y.

$$-\frac{17}{9}y+2=11$$

Resta 2 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{17}{9}y=9$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{17}{9}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{81}{17}$$

Substitúe y por -\frac{81}{17} en x=-\frac{13}{9}y+1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{13}{9}\left(-\frac{81}{17}\right)+1$$

Multiplica -\frac{13}{9} por -\frac{81}{17} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{117}{17}+1$$

Suma 1 a \frac{117}{17}.

$$x=\frac{134}{17}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{134}{17},y=-\frac{81}{17}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$9x+13y=9,2x+y=11$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9-13\times 2}&-\frac{13}{9-13\times 2}\\-\frac{2}{9-13\times 2}&\frac{9}{9-13\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{17}&\frac{13}{17}\\\frac{2}{17}&-\frac{9}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{17}\times 9+\frac{13}{17}\times 11\\\frac{2}{17}\times 9-\frac{9}{17}\times 11\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{134}{17}\\-\frac{81}{17}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{134}{17},y=-\frac{81}{17}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$9x+13y=9,2x+y=11$$

Para que 9x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 9.

$$2\times 9x+2\times 13y=2\times 9,9\times 2x+9y=9\times 11$$

Simplifica.

$$18x+26y=18,18x+9y=99$$

Resta 18x+9y=99 de 18x+26y=18 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$18x-18x+26y-9y=18-99$$

Suma 18x a -18x. 18x e -18x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$26y-9y=18-99$$

Suma 26y a -9y.

$$17y=18-99$$

Suma 18 a -99.

$$17y=-81$$

Divide ambos lados entre 17.

$$y=-\frac{81}{17}$$

Substitúe y por -\frac{81}{17} en 2x+y=11. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x-\frac{81}{17}=11$$

Suma \frac{81}{17} en ambos lados da ecuación.

$$2x=\frac{268}{17}$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{134}{17}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{134}{17},y=-\frac{81}{17}$$