Resolver {l}{9m+7n=178}{9m+6n=168}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 m + 7 n = 178 } \\ { 9 m + 6 n = 168 } \end{array} \right.$$

Resolver m, n

$$m=12$$

$$n=10$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$9m+7n=178,9m+6n=168$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a m mediante o illamento de m no lado esquerdo do signo igual.

$$9m+7n=178$$

Resta 7n en ambos lados da ecuación.

$$9m=-7n+178$$

Divide ambos lados entre 9.

$$m=\frac{1}{9}\left(-7n+178\right)$$

Multiplica \frac{1}{9} por -7n+178.

$$m=-\frac{7}{9}n+\frac{178}{9}$$

Substitúe m por \frac{-7n+178}{9} na outra ecuación, 9m+6n=168.

$$9\left(-\frac{7}{9}n+\frac{178}{9}\right)+6n=168$$

Multiplica 9 por \frac{-7n+178}{9}.

$$-7n+178+6n=168$$

Suma -7n a 6n.

$$-n+178=168$$

Resta 178 en ambos lados da ecuación.

$$-n=-10$$

Divide ambos lados entre -1.

$$n=10$$

Substitúe n por 10 en m=-\frac{7}{9}n+\frac{178}{9}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar m directamente.

$$m=-\frac{7}{9}\times 10+\frac{178}{9}$$

Multiplica -\frac{7}{9} por 10.

$$m=\frac{-70+178}{9}$$

Suma \frac{178}{9} a -\frac{70}{9} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$m=12$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$m=12,n=10$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$9m+7n=178,9m+6n=168$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}9&7\\9&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}178\\168\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}9&7\\9&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\9&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&7\\9&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\9&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}178\\168\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\9&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}178\\168\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\9&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}178\\168\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{9\times 6-7\times 9}&-\frac{7}{9\times 6-7\times 9}\\-\frac{9}{9\times 6-7\times 9}&\frac{9}{9\times 6-7\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}178\\168\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{7}{9}\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}178\\168\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 178+\frac{7}{9}\times 168\\178-168\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\10\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz m e n.

$$m=12,n=10$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$9m+7n=178,9m+6n=168$$

Resta 9m+6n=168 de 9m+7n=178 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$9m-9m+7n-6n=178-168$$

Suma 9m a -9m. 9m e -9m anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$7n-6n=178-168$$

Suma 7n a -6n.

$$n=178-168$$

Suma 178 a -168.

$$n=10$$

Substitúe n por 10 en 9m+6n=168. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar m directamente.

$$9m+6\times 10=168$$

Multiplica 6 por 10.

$$9m+60=168$$

Resta 60 en ambos lados da ecuación.

$$9m=108$$

Divide ambos lados entre 9.

$$m=12$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$m=12,n=10$$