Resolver {l}{9k_{1}+8k_{2}=59}{25k_{1}+k_{2}=79}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 k _ { 1 } + 8 k _ { 2 } = 59 } \\ { 25 k _ { 1 } + k _ { 2 } = 79 } \end{array} \right.$$

Resolver k_1, k_2

$$k_{1}=3$$

$$k_{2}=4$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$9k_{1}+8k_{2}=59,25k_{1}+k_{2}=79$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a k_{1} mediante o illamento de k_{1} no lado esquerdo do signo igual.

$$9k_{1}+8k_{2}=59$$

Resta 8k_{2} en ambos lados da ecuación.

$$9k_{1}=-8k_{2}+59$$

Divide ambos lados entre 9.

$$k_{1}=\frac{1}{9}\left(-8k_{2}+59\right)$$

Multiplica \frac{1}{9} por -8k_{2}+59.

$$k_{1}=-\frac{8}{9}k_{2}+\frac{59}{9}$$

Substitúe k_{1} por \frac{-8k_{2}+59}{9} na outra ecuación, 25k_{1}+k_{2}=79.

$$25\left(-\frac{8}{9}k_{2}+\frac{59}{9}\right)+k_{2}=79$$

Multiplica 25 por \frac{-8k_{2}+59}{9}.

$$-\frac{200}{9}k_{2}+\frac{1475}{9}+k_{2}=79$$

Suma -\frac{200k_{2}}{9} a k_{2}.

$$-\frac{191}{9}k_{2}+\frac{1475}{9}=79$$

Resta \frac{1475}{9} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{191}{9}k_{2}=-\frac{764}{9}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{191}{9}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$k_{2}=4$$

Substitúe k_{2} por 4 en k_{1}=-\frac{8}{9}k_{2}+\frac{59}{9}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar k_{1} directamente.

$$k_{1}=-\frac{8}{9}\times 4+\frac{59}{9}$$

Multiplica -\frac{8}{9} por 4.

$$k_{1}=\frac{-32+59}{9}$$

Suma \frac{59}{9} a -\frac{32}{9} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$k_{1}=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$k_{1}=3,k_{2}=4$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$9k_{1}+8k_{2}=59,25k_{1}+k_{2}=79$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}9&8\\25&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k_{1}\\k_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}59\\79\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}9&8\\25&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&8\\25&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&8\\25&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k_{1}\\k_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&8\\25&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\79\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k_{1}\\k_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&8\\25&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\79\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}k_{1}\\k_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&8\\25&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\79\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}k_{1}\\k_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9-8\times 25}&-\frac{8}{9-8\times 25}\\-\frac{25}{9-8\times 25}&\frac{9}{9-8\times 25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\79\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}k_{1}\\k_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{191}&\frac{8}{191}\\\frac{25}{191}&-\frac{9}{191}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\79\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}k_{1}\\k_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{191}\times 59+\frac{8}{191}\times 79\\\frac{25}{191}\times 59-\frac{9}{191}\times 79\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}k_{1}\\k_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz k_{1} e k_{2}.

$$k_{1}=3,k_{2}=4$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$9k_{1}+8k_{2}=59,25k_{1}+k_{2}=79$$

Para que 9k_{1} e 25k_{1} sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 25 e todos os termos a cada lado da segunda por 9.

$$25\times 9k_{1}+25\times 8k_{2}=25\times 59,9\times 25k_{1}+9k_{2}=9\times 79$$

Simplifica.

$$225k_{1}+200k_{2}=1475,225k_{1}+9k_{2}=711$$

Resta 225k_{1}+9k_{2}=711 de 225k_{1}+200k_{2}=1475 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$225k_{1}-225k_{1}+200k_{2}-9k_{2}=1475-711$$

Suma 225k_{1} a -225k_{1}. 225k_{1} e -225k_{1} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$200k_{2}-9k_{2}=1475-711$$

Suma 200k_{2} a -9k_{2}.

$$191k_{2}=1475-711$$

Suma 1475 a -711.

$$191k_{2}=764$$

Divide ambos lados entre 191.

$$k_{2}=4$$

Substitúe k_{2} por 4 en 25k_{1}+k_{2}=79. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar k_{1} directamente.

$$25k_{1}+4=79$$

Resta 4 en ambos lados da ecuación.

$$25k_{1}=75$$

Divide ambos lados entre 25.

$$k_{1}=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$k_{1}=3,k_{2}=4$$