Resolver {l}{800=x+20y}{+00=x+15y}

$$\left. \begin{array} { l } { 800 = x + 20 y } \\ { + 00 = x + 15 y } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-2400$$

$$y=160$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$x+20y=800$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica 0 e 0 para obter 0.

$$0=x+15y$$

Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$x+15y=0$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+20y=800,x+15y=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+20y=800$$

Resta 20y en ambos lados da ecuación.

$$x=-20y+800$$

Substitúe x por -20y+800 na outra ecuación, x+15y=0.

$$-20y+800+15y=0$$

Suma -20y a 15y.

$$-5y+800=0$$

Resta 800 en ambos lados da ecuación.

$$-5y=-800$$

Divide ambos lados entre -5.

$$y=160$$

Substitúe y por 160 en x=-20y+800. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-20\times 160+800$$

Multiplica -20 por 160.

$$x=-3200+800$$

Suma 800 a -3200.

$$x=-2400$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-2400,y=160$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$x+20y=800$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica 0 e 0 para obter 0.

$$0=x+15y$$

Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$x+15y=0$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+20y=800,x+15y=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}800\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}800\\0\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}800\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}800\\0\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{15-20}&-\frac{20}{15-20}\\-\frac{1}{15-20}&\frac{1}{15-20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}800\\0\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&4\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}800\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 800\\\frac{1}{5}\times 800\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2400\\160\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-2400,y=160$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$x+20y=800$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica 0 e 0 para obter 0.

$$0=x+15y$$

Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$x+15y=0$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+20y=800,x+15y=0$$

Resta x+15y=0 de x+20y=800 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$x-x+20y-15y=800$$

Suma x a -x. x e -x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$20y-15y=800$$

Suma 20y a -15y.

$$5y=800$$

Divide ambos lados entre 5.

$$y=160$$

Substitúe y por 160 en x+15y=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+15\times 160=0$$

Multiplica 15 por 160.

$$x+2400=0$$

Resta 2400 en ambos lados da ecuación.

$$x=-2400$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-2400,y=160$$