Resolver {l}{80x+160y=4}{x+3y=0.1}

$$\left. \begin{array} { l } { 80 x + 160 y = 4 } \\ { x + 3 y = 0.1 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-0.05$$

$$y=0.05$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$80x+160y=4,x+3y=0.1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$80x+160y=4$$

Resta 160y en ambos lados da ecuación.

$$80x=-160y+4$$

Divide ambos lados entre 80.

$$x=\frac{1}{80}\left(-160y+4\right)$$

Multiplica \frac{1}{80} por -160y+4.

$$x=-2y+\frac{1}{20}$$

Substitúe x por -2y+\frac{1}{20} na outra ecuación, x+3y=0.1.

$$-2y+\frac{1}{20}+3y=0.1$$

Suma -2y a 3y.

$$y+\frac{1}{20}=0.1$$

Resta \frac{1}{20} en ambos lados da ecuación.

$$y=\frac{1}{20}$$

Substitúe y por \frac{1}{20} en x=-2y+\frac{1}{20}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-2\times \frac{1}{20}+\frac{1}{20}$$

Multiplica -2 por \frac{1}{20}.

$$x=-\frac{1}{10}+\frac{1}{20}$$

Suma \frac{1}{20} a -\frac{1}{10} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{1}{20}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{1}{20},y=\frac{1}{20}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$80x+160y=4,x+3y=0.1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{80\times 3-160}&-\frac{160}{80\times 3-160}\\-\frac{1}{80\times 3-160}&\frac{80}{80\times 3-160}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{80}&-2\\-\frac{1}{80}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{80}\times 4-2\times 0.1\\-\frac{1}{80}\times 4+0.1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{20}\\\frac{1}{20}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{1}{20},y=\frac{1}{20}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$80x+160y=4,x+3y=0.1$$

Para que 80x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 80.

$$80x+160y=4,80x+80\times 3y=80\times 0.1$$

Simplifica.

$$80x+160y=4,80x+240y=8$$

Resta 80x+240y=8 de 80x+160y=4 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$80x-80x+160y-240y=4-8$$

Suma 80x a -80x. 80x e -80x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$160y-240y=4-8$$

Suma 160y a -240y.

$$-80y=4-8$$

Suma 4 a -8.

$$-80y=-4$$

Divide ambos lados entre -80.

$$y=\frac{1}{20}$$

Substitúe y por \frac{1}{20} en x+3y=0.1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+3\times \frac{1}{20}=0.1$$

Multiplica 3 por \frac{1}{20}.

$$x+\frac{3}{20}=0.1$$

Resta \frac{3}{20} en ambos lados da ecuación.

$$x=-\frac{1}{20}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{1}{20},y=\frac{1}{20}$$