Resolver {l}{80x+160y=4}{5600x+5600y=5536}

$$\left. \begin{array} { l } { 80 x + 160 y = 4 } \\ { 5600 x + 5600 y = 5536 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{1349}{700} = 1\frac{649}{700} \approx 1.927142857$$

$$y=-\frac{657}{700}\approx -0.938571429$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$80x+160y=4,5600x+5600y=5536$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$80x+160y=4$$

Resta 160y en ambos lados da ecuación.

$$80x=-160y+4$$

Divide ambos lados entre 80.

$$x=\frac{1}{80}\left(-160y+4\right)$$

Multiplica \frac{1}{80} por -160y+4.

$$x=-2y+\frac{1}{20}$$

Substitúe x por -2y+\frac{1}{20} na outra ecuación, 5600x+5600y=5536.

$$5600\left(-2y+\frac{1}{20}\right)+5600y=5536$$

Multiplica 5600 por -2y+\frac{1}{20}.

$$-11200y+280+5600y=5536$$

Suma -11200y a 5600y.

$$-5600y+280=5536$$

Resta 280 en ambos lados da ecuación.

$$-5600y=5256$$

Divide ambos lados entre -5600.

$$y=-\frac{657}{700}$$

Substitúe y por -\frac{657}{700} en x=-2y+\frac{1}{20}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-2\left(-\frac{657}{700}\right)+\frac{1}{20}$$

Multiplica -2 por -\frac{657}{700}.

$$x=\frac{657}{350}+\frac{1}{20}$$

Suma \frac{1}{20} a \frac{657}{350} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{1349}{700}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{1349}{700},y=-\frac{657}{700}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$80x+160y=4,5600x+5600y=5536$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5600}{80\times 5600-160\times 5600}&-\frac{160}{80\times 5600-160\times 5600}\\-\frac{5600}{80\times 5600-160\times 5600}&\frac{80}{80\times 5600-160\times 5600}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}&\frac{1}{2800}\\\frac{1}{80}&-\frac{1}{5600}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}\times 4+\frac{1}{2800}\times 5536\\\frac{1}{80}\times 4-\frac{1}{5600}\times 5536\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1349}{700}\\-\frac{657}{700}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{1349}{700},y=-\frac{657}{700}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$80x+160y=4,5600x+5600y=5536$$

Para que 80x e 5600x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 5600 e todos os termos a cada lado da segunda por 80.

$$5600\times 80x+5600\times 160y=5600\times 4,80\times 5600x+80\times 5600y=80\times 5536$$

Simplifica.

$$448000x+896000y=22400,448000x+448000y=442880$$

Resta 448000x+448000y=442880 de 448000x+896000y=22400 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$448000x-448000x+896000y-448000y=22400-442880$$

Suma 448000x a -448000x. 448000x e -448000x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$896000y-448000y=22400-442880$$

Suma 896000y a -448000y.

$$448000y=22400-442880$$

Suma 22400 a -442880.

$$448000y=-420480$$

Divide ambos lados entre 448000.

$$y=-\frac{657}{700}$$

Substitúe y por -\frac{657}{700} en 5600x+5600y=5536. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$5600x+5600\left(-\frac{657}{700}\right)=5536$$

Multiplica 5600 por -\frac{657}{700}.

$$5600x-5256=5536$$

Suma 5256 en ambos lados da ecuación.

$$5600x=10792$$

Divide ambos lados entre 5600.

$$x=\frac{1349}{700}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{1349}{700},y=-\frac{657}{700}$$