Resolver {l}{8y+x=7}{7y+8x=16}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 y + x = 7 } \\ { 7 y + 8 x = 16 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x = \frac{79}{57} = 1\frac{22}{57} \approx 1.385964912$$

$$y=\frac{40}{57}\approx 0.701754386$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$8y+x=7,7y+8x=16$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$8y+x=7$$

Resta x en ambos lados da ecuación.

$$8y=-x+7$$

Divide ambos lados entre 8.

$$y=\frac{1}{8}\left(-x+7\right)$$

Multiplica \frac{1}{8} por -x+7.

$$y=-\frac{1}{8}x+\frac{7}{8}$$

Substitúe y por \frac{-x+7}{8} na outra ecuación, 7y+8x=16.

$$7\left(-\frac{1}{8}x+\frac{7}{8}\right)+8x=16$$

Multiplica 7 por \frac{-x+7}{8}.

$$-\frac{7}{8}x+\frac{49}{8}+8x=16$$

Suma -\frac{7x}{8} a 8x.

$$\frac{57}{8}x+\frac{49}{8}=16$$

Resta \frac{49}{8} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{57}{8}x=\frac{79}{8}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{57}{8}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=\frac{79}{57}$$

Substitúe x por \frac{79}{57} en y=-\frac{1}{8}x+\frac{7}{8}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=-\frac{1}{8}\times \frac{79}{57}+\frac{7}{8}$$

Multiplica -\frac{1}{8} por \frac{79}{57} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$y=-\frac{79}{456}+\frac{7}{8}$$

Suma \frac{7}{8} a -\frac{79}{456} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$y=\frac{40}{57}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=\frac{40}{57},x=\frac{79}{57}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$8y+x=7,7y+8x=16$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8\times 8-7}&-\frac{1}{8\times 8-7}\\-\frac{7}{8\times 8-7}&\frac{8}{8\times 8-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{57}&-\frac{1}{57}\\-\frac{7}{57}&\frac{8}{57}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{57}\times 7-\frac{1}{57}\times 16\\-\frac{7}{57}\times 7+\frac{8}{57}\times 16\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{40}{57}\\\frac{79}{57}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=\frac{40}{57},x=\frac{79}{57}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$8y+x=7,7y+8x=16$$

Para que 8y e 7y sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 7 e todos os termos a cada lado da segunda por 8.

$$7\times 8y+7x=7\times 7,8\times 7y+8\times 8x=8\times 16$$

Simplifica.

$$56y+7x=49,56y+64x=128$$

Resta 56y+64x=128 de 56y+7x=49 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$56y-56y+7x-64x=49-128$$

Suma 56y a -56y. 56y e -56y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$7x-64x=49-128$$

Suma 7x a -64x.

$$-57x=49-128$$

Suma 49 a -128.

$$-57x=-79$$

Divide ambos lados entre -57.

$$x=\frac{79}{57}$$

Substitúe x por \frac{79}{57} en 7y+8x=16. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$7y+8\times \frac{79}{57}=16$$

Multiplica 8 por \frac{79}{57}.

$$7y+\frac{632}{57}=16$$

Resta \frac{632}{57} en ambos lados da ecuación.

$$7y=\frac{280}{57}$$

Divide ambos lados entre 7.

$$y=\frac{40}{57}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=\frac{40}{57},x=\frac{79}{57}$$