Resolver {l}{8x-9y=15}{-5x+3y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x - 9 y = 15 } \\ { - 5 x + 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-6$$

$$y=-7$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$8x-9y=15,-5x+3y=9$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$8x-9y=15$$

Suma 9y en ambos lados da ecuación.

$$8x=9y+15$$

Divide ambos lados entre 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(9y+15\right)$$

Multiplica \frac{1}{8} por 9y+15.

$$x=\frac{9}{8}y+\frac{15}{8}$$

Substitúe x por \frac{9y+15}{8} na outra ecuación, -5x+3y=9.

$$-5\left(\frac{9}{8}y+\frac{15}{8}\right)+3y=9$$

Multiplica -5 por \frac{9y+15}{8}.

$$-\frac{45}{8}y-\frac{75}{8}+3y=9$$

Suma -\frac{45y}{8} a 3y.

$$-\frac{21}{8}y-\frac{75}{8}=9$$

Suma \frac{75}{8} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{21}{8}y=\frac{147}{8}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{21}{8}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-7$$

Substitúe y por -7 en x=\frac{9}{8}y+\frac{15}{8}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{9}{8}\left(-7\right)+\frac{15}{8}$$

Multiplica \frac{9}{8} por -7.

$$x=\frac{-63+15}{8}$$

Suma \frac{15}{8} a -\frac{63}{8} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-6$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-6,y=-7$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$8x-9y=15,-5x+3y=9$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-\left(-9\left(-5\right)\right)}&-\frac{-9}{8\times 3-\left(-9\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{8\times 3-\left(-9\left(-5\right)\right)}&\frac{8}{8\times 3-\left(-9\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&-\frac{3}{7}\\-\frac{5}{21}&-\frac{8}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 15-\frac{3}{7}\times 9\\-\frac{5}{21}\times 15-\frac{8}{21}\times 9\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-7\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-6,y=-7$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$8x-9y=15,-5x+3y=9$$

Para que 8x e -5x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -5 e todos os termos a cada lado da segunda por 8.

$$-5\times 8x-5\left(-9\right)y=-5\times 15,8\left(-5\right)x+8\times 3y=8\times 9$$

Simplifica.

$$-40x+45y=-75,-40x+24y=72$$

Resta -40x+24y=72 de -40x+45y=-75 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-40x+40x+45y-24y=-75-72$$

Suma -40x a 40x. -40x e 40x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$45y-24y=-75-72$$

Suma 45y a -24y.

$$21y=-75-72$$

Suma -75 a -72.

$$21y=-147$$

Divide ambos lados entre 21.

$$y=-7$$

Substitúe y por -7 en -5x+3y=9. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-5x+3\left(-7\right)=9$$

Multiplica 3 por -7.

$$-5x-21=9$$

Suma 21 en ambos lados da ecuación.

$$-5x=30$$

Divide ambos lados entre -5.

$$x=-6$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-6,y=-7$$