Resolver {l}{8x-5y-3=0}{5*(y-3x)=-10}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x - 5 y - 3 = 0 } \\ { 5 \cdot ( y - 3 x ) = - 10 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 3 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$8x-5y=3$$

Ten en conta a segunda ecuación. Divide ambos lados entre 5.

$$y-3x=\frac{-10}{5}$$

Divide -10 entre 5 para obter -2.

$$y-3x=-2$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$8x-5y=3,-3x+y=-2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$8x-5y=3$$

Suma 5y en ambos lados da ecuación.

$$8x=5y+3$$

Divide ambos lados entre 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(5y+3\right)$$

Multiplica \frac{1}{8} por 5y+3.

$$x=\frac{5}{8}y+\frac{3}{8}$$

Substitúe x por \frac{5y+3}{8} na outra ecuación, -3x+y=-2.

$$-3\left(\frac{5}{8}y+\frac{3}{8}\right)+y=-2$$

Multiplica -3 por \frac{5y+3}{8}.

$$-\frac{15}{8}y-\frac{9}{8}+y=-2$$

Suma -\frac{15y}{8} a y.

$$-\frac{7}{8}y-\frac{9}{8}=-2$$

Suma \frac{9}{8} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{7}{8}y=-\frac{7}{8}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{7}{8}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en x=\frac{5}{8}y+\frac{3}{8}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{5+3}{8}$$

Suma \frac{3}{8} a \frac{5}{8} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=1$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 3 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$8x-5y=3$$

Ten en conta a segunda ecuación. Divide ambos lados entre 5.

$$y-3x=\frac{-10}{5}$$

Divide -10 entre 5 para obter -2.

$$y-3x=-2$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$8x-5y=3,-3x+y=-2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8-\left(-5\left(-3\right)\right)}&-\frac{-5}{8-\left(-5\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{8-\left(-5\left(-3\right)\right)}&\frac{8}{8-\left(-5\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&-\frac{5}{7}\\-\frac{3}{7}&-\frac{8}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 3-\frac{5}{7}\left(-2\right)\\-\frac{3}{7}\times 3-\frac{8}{7}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=1,y=1$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 3 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$8x-5y=3$$

Ten en conta a segunda ecuación. Divide ambos lados entre 5.

$$y-3x=\frac{-10}{5}$$

Divide -10 entre 5 para obter -2.

$$y-3x=-2$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$8x-5y=3,-3x+y=-2$$

Para que 8x e -3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -3 e todos os termos a cada lado da segunda por 8.

$$-3\times 8x-3\left(-5\right)y=-3\times 3,8\left(-3\right)x+8y=8\left(-2\right)$$

Simplifica.

$$-24x+15y=-9,-24x+8y=-16$$

Resta -24x+8y=-16 de -24x+15y=-9 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-24x+24x+15y-8y=-9+16$$

Suma -24x a 24x. -24x e 24x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$15y-8y=-9+16$$

Suma 15y a -8y.

$$7y=-9+16$$

Suma -9 a 16.

$$7y=7$$

Divide ambos lados entre 7.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en -3x+y=-2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-3x+1=-2$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$-3x=-3$$

Divide ambos lados entre -3.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=1$$