Resolver {l}{8x-5y=10}{6x-4y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x - 5 y = 10 } \\ { 6 x - 4 y = 11 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7.5$$

$$y=-14$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$8x-5y=10,6x-4y=11$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$8x-5y=10$$

Suma 5y en ambos lados da ecuación.

$$8x=5y+10$$

Divide ambos lados entre 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(5y+10\right)$$

Multiplica \frac{1}{8} por 10+5y.

$$x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{4}$$

Substitúe x por \frac{5}{4}+\frac{5y}{8} na outra ecuación, 6x-4y=11.

$$6\left(\frac{5}{8}y+\frac{5}{4}\right)-4y=11$$

Multiplica 6 por \frac{5}{4}+\frac{5y}{8}.

$$\frac{15}{4}y+\frac{15}{2}-4y=11$$

Suma \frac{15y}{4} a -4y.

$$-\frac{1}{4}y+\frac{15}{2}=11$$

Resta \frac{15}{2} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{1}{4}y=\frac{7}{2}$$

Multiplica ambos lados por -4.

$$y=-14$$

Substitúe y por -14 en x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{4}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{5}{8}\left(-14\right)+\frac{5}{4}$$

Multiplica \frac{5}{8} por -14.

$$x=\frac{-35+5}{4}$$

Suma \frac{5}{4} a -\frac{35}{4} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{15}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{15}{2},y=-14$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$8x-5y=10,6x-4y=11$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}&\frac{8}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-\frac{5}{2}\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 10-\frac{5}{2}\times 11\\3\times 10-4\times 11\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{2}\\-14\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{15}{2},y=-14$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$8x-5y=10,6x-4y=11$$

Para que 8x e 6x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 6 e todos os termos a cada lado da segunda por 8.

$$6\times 8x+6\left(-5\right)y=6\times 10,8\times 6x+8\left(-4\right)y=8\times 11$$

Simplifica.

$$48x-30y=60,48x-32y=88$$

Resta 48x-32y=88 de 48x-30y=60 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$48x-48x-30y+32y=60-88$$

Suma 48x a -48x. 48x e -48x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-30y+32y=60-88$$

Suma -30y a 32y.

$$2y=60-88$$

Suma 60 a -88.

$$2y=-28$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=-14$$

Substitúe y por -14 en 6x-4y=11. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$6x-4\left(-14\right)=11$$

Multiplica -4 por -14.

$$6x+56=11$$

Resta 56 en ambos lados da ecuación.

$$6x=-45$$

Divide ambos lados entre 6.

$$x=-\frac{15}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{15}{2},y=-14$$