Resolver {l}{8x+y=64}{x+y=42}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + y = 64 } \\ { x + y = 42 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{22}{7} = 3\frac{1}{7} \approx 3.142857143$$

$$y = \frac{272}{7} = 38\frac{6}{7} \approx 38.857142857$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$8x+y=64,x+y=42$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$8x+y=64$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$8x=-y+64$$

Divide ambos lados entre 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-y+64\right)$$

Multiplica \frac{1}{8} por -y+64.

$$x=-\frac{1}{8}y+8$$

Substitúe x por -\frac{y}{8}+8 na outra ecuación, x+y=42.

$$-\frac{1}{8}y+8+y=42$$

Suma -\frac{y}{8} a y.

$$\frac{7}{8}y+8=42$$

Resta 8 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{7}{8}y=34$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{7}{8}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{272}{7}$$

Substitúe y por \frac{272}{7} en x=-\frac{1}{8}y+8. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{8}\times \frac{272}{7}+8$$

Multiplica -\frac{1}{8} por \frac{272}{7} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{34}{7}+8$$

Suma 8 a -\frac{34}{7}.

$$x=\frac{22}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{22}{7},y=\frac{272}{7}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$8x+y=64,x+y=42$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}8&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}64\\42\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}8&1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\42\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\42\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\42\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8-1}&-\frac{1}{8-1}\\-\frac{1}{8-1}&\frac{8}{8-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\42\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{8}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\42\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 64-\frac{1}{7}\times 42\\-\frac{1}{7}\times 64+\frac{8}{7}\times 42\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{7}\\\frac{272}{7}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{22}{7},y=\frac{272}{7}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$8x+y=64,x+y=42$$

Resta x+y=42 de 8x+y=64 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$8x-x+y-y=64-42$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$8x-x=64-42$$

Suma 8x a -x.

$$7x=64-42$$

Suma 64 a -42.

$$7x=22$$

Divide ambos lados entre 7.

$$x=\frac{22}{7}$$

Substitúe x por \frac{22}{7} en x+y=42. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$\frac{22}{7}+y=42$$

Resta \frac{22}{7} en ambos lados da ecuación.

$$y=\frac{272}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{22}{7},y=\frac{272}{7}$$