Resolver {l}{8x+4y=-4}{4x-2y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + 4 y = - 4 } \\ { 4 x - 2 y = 8 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{3}{4}=0.75$$

$$y = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$8x+4y=-4,4x-2y=8$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$8x+4y=-4$$

Resta 4y en ambos lados da ecuación.

$$8x=-4y-4$$

Divide ambos lados entre 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-4y-4\right)$$

Multiplica \frac{1}{8} por -4y-4.

$$x=-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}$$

Substitúe x por \frac{-y-1}{2} na outra ecuación, 4x-2y=8.

$$4\left(-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}\right)-2y=8$$

Multiplica 4 por \frac{-y-1}{2}.

$$-2y-2-2y=8$$

Suma -2y a -2y.

$$-4y-2=8$$

Suma 2 en ambos lados da ecuación.

$$-4y=10$$

Divide ambos lados entre -4.

$$y=-\frac{5}{2}$$

Substitúe y por -\frac{5}{2} en x=-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{5}{2}\right)-\frac{1}{2}$$

Multiplica -\frac{1}{2} por -\frac{5}{2} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{5}{4}-\frac{1}{2}$$

Suma -\frac{1}{2} a \frac{5}{4} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{3}{4}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{3}{4},y=-\frac{5}{2}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$8x+4y=-4,4x-2y=8$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{8\left(-2\right)-4\times 4}&-\frac{4}{8\left(-2\right)-4\times 4}\\-\frac{4}{8\left(-2\right)-4\times 4}&\frac{8}{8\left(-2\right)-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16}&\frac{1}{8}\\\frac{1}{8}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16}\left(-4\right)+\frac{1}{8}\times 8\\\frac{1}{8}\left(-4\right)-\frac{1}{4}\times 8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{3}{4},y=-\frac{5}{2}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$8x+4y=-4,4x-2y=8$$

Para que 8x e 4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por 8.

$$4\times 8x+4\times 4y=4\left(-4\right),8\times 4x+8\left(-2\right)y=8\times 8$$

Simplifica.

$$32x+16y=-16,32x-16y=64$$

Resta 32x-16y=64 de 32x+16y=-16 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$32x-32x+16y+16y=-16-64$$

Suma 32x a -32x. 32x e -32x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$16y+16y=-16-64$$

Suma 16y a 16y.

$$32y=-16-64$$

Suma -16 a -64.

$$32y=-80$$

Divide ambos lados entre 32.

$$y=-\frac{5}{2}$$

Substitúe y por -\frac{5}{2} en 4x-2y=8. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$4x-2\left(-\frac{5}{2}\right)=8$$

Multiplica -2 por -\frac{5}{2}.

$$4x+5=8$$

Resta 5 en ambos lados da ecuación.

$$4x=3$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{3}{4}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{3}{4},y=-\frac{5}{2}$$