Resolver {l}{8x+3y=5}{3x+2y=70}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 2 y = 70 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = -\frac{200}{7} = -28\frac{4}{7} \approx -28.571428571$$

$$y = \frac{545}{7} = 77\frac{6}{7} \approx 77.857142857$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$8x+3y=5,3x+2y=70$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$8x+3y=5$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$8x=-3y+5$$

Divide ambos lados entre 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-3y+5\right)$$

Multiplica \frac{1}{8} por -3y+5.

$$x=-\frac{3}{8}y+\frac{5}{8}$$

Substitúe x por \frac{-3y+5}{8} na outra ecuación, 3x+2y=70.

$$3\left(-\frac{3}{8}y+\frac{5}{8}\right)+2y=70$$

Multiplica 3 por \frac{-3y+5}{8}.

$$-\frac{9}{8}y+\frac{15}{8}+2y=70$$

Suma -\frac{9y}{8} a 2y.

$$\frac{7}{8}y+\frac{15}{8}=70$$

Resta \frac{15}{8} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{7}{8}y=\frac{545}{8}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{7}{8}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{545}{7}$$

Substitúe y por \frac{545}{7} en x=-\frac{3}{8}y+\frac{5}{8}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{8}\times \frac{545}{7}+\frac{5}{8}$$

Multiplica -\frac{3}{8} por \frac{545}{7} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{1635}{56}+\frac{5}{8}$$

Suma \frac{5}{8} a -\frac{1635}{56} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{200}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{200}{7},y=\frac{545}{7}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$8x+3y=5,3x+2y=70$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}8&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}8&3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{8\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{8\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{8\times 2-3\times 3}&\frac{8}{8\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&-\frac{3}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{8}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 5-\frac{3}{7}\times 70\\-\frac{3}{7}\times 5+\frac{8}{7}\times 70\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{200}{7}\\\frac{545}{7}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{200}{7},y=\frac{545}{7}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$8x+3y=5,3x+2y=70$$

Para que 8x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 8.

$$3\times 8x+3\times 3y=3\times 5,8\times 3x+8\times 2y=8\times 70$$

Simplifica.

$$24x+9y=15,24x+16y=560$$

Resta 24x+16y=560 de 24x+9y=15 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$24x-24x+9y-16y=15-560$$

Suma 24x a -24x. 24x e -24x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$9y-16y=15-560$$

Suma 9y a -16y.

$$-7y=15-560$$

Suma 15 a -560.

$$-7y=-545$$

Divide ambos lados entre -7.

$$y=\frac{545}{7}$$

Substitúe y por \frac{545}{7} en 3x+2y=70. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x+2\times \frac{545}{7}=70$$

Multiplica 2 por \frac{545}{7}.

$$3x+\frac{1090}{7}=70$$

Resta \frac{1090}{7} en ambos lados da ecuación.

$$3x=-\frac{600}{7}$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=-\frac{200}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{200}{7},y=\frac{545}{7}$$