Resolver {l}{8x+3y=103.1}{12x+8y=139.4}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + 3 y = 103.1 } \\ { 12 x + 8 y = 139.4 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{2033}{140} = 14\frac{73}{140} \approx 14.521428571$$

$$y = -\frac{61}{14} = -4\frac{5}{14} \approx -4.357142857$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$8x+3y=103.1,12x+8y=139.4$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$8x+3y=103.1$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$8x=-3y+103.1$$

Divide ambos lados entre 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-3y+103.1\right)$$

Multiplica \frac{1}{8} por -3y+103.1.

$$x=-\frac{3}{8}y+\frac{1031}{80}$$

Substitúe x por -\frac{3y}{8}+\frac{1031}{80} na outra ecuación, 12x+8y=139.4.

$$12\left(-\frac{3}{8}y+\frac{1031}{80}\right)+8y=139.4$$

Multiplica 12 por -\frac{3y}{8}+\frac{1031}{80}.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{3093}{20}+8y=139.4$$

Suma -\frac{9y}{2} a 8y.

$$\frac{7}{2}y+\frac{3093}{20}=139.4$$

Resta \frac{3093}{20} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{7}{2}y=-\frac{61}{4}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{7}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{61}{14}$$

Substitúe y por -\frac{61}{14} en x=-\frac{3}{8}y+\frac{1031}{80}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{8}\left(-\frac{61}{14}\right)+\frac{1031}{80}$$

Multiplica -\frac{3}{8} por -\frac{61}{14} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{183}{112}+\frac{1031}{80}$$

Suma \frac{1031}{80} a \frac{183}{112} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{2033}{140}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{2033}{140},y=-\frac{61}{14}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$8x+3y=103.1,12x+8y=139.4$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}8&3\\12&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}103.1\\139.4\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}8&3\\12&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\12&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&3\\12&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\12&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}103.1\\139.4\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\12&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}103.1\\139.4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\12&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}103.1\\139.4\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8\times 8-3\times 12}&-\frac{3}{8\times 8-3\times 12}\\-\frac{12}{8\times 8-3\times 12}&\frac{8}{8\times 8-3\times 12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}103.1\\139.4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&-\frac{3}{28}\\-\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}103.1\\139.4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 103.1-\frac{3}{28}\times 139.4\\-\frac{3}{7}\times 103.1+\frac{2}{7}\times 139.4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2033}{140}\\-\frac{61}{14}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{2033}{140},y=-\frac{61}{14}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$8x+3y=103.1,12x+8y=139.4$$

Para que 8x e 12x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 12 e todos os termos a cada lado da segunda por 8.

$$12\times 8x+12\times 3y=12\times 103.1,8\times 12x+8\times 8y=8\times 139.4$$

Simplifica.

$$96x+36y=1237.2,96x+64y=1115.2$$

Resta 96x+64y=1115.2 de 96x+36y=1237.2 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$96x-96x+36y-64y=\frac{6186-5576}{5}$$

Suma 96x a -96x. 96x e -96x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$36y-64y=\frac{6186-5576}{5}$$

Suma 36y a -64y.

$$-28y=\frac{6186-5576}{5}$$

Suma 1237.2 a -1115.2 mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$-28y=122$$

Divide ambos lados entre -28.

$$y=-\frac{61}{14}$$

Substitúe y por -\frac{61}{14} en 12x+8y=139.4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$12x+8\left(-\frac{61}{14}\right)=139.4$$

Multiplica 8 por -\frac{61}{14}.

$$12x-\frac{244}{7}=139.4$$

Suma \frac{244}{7} en ambos lados da ecuación.

$$12x=\frac{6099}{35}$$

Divide ambos lados entre 12.

$$x=\frac{2033}{140}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{2033}{140},y=-\frac{61}{14}$$