Resolver {l}{8x+2y=104}{1x+1y=25}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + 2 y = 104 } \\ { 1 x + 1 y = 25 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=9$$

$$y=16$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$8x+2y=104,x+y=25$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$8x+2y=104$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$8x=-2y+104$$

Divide ambos lados entre 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-2y+104\right)$$

Multiplica \frac{1}{8} por -2y+104.

$$x=-\frac{1}{4}y+13$$

Substitúe x por -\frac{y}{4}+13 na outra ecuación, x+y=25.

$$-\frac{1}{4}y+13+y=25$$

Suma -\frac{y}{4} a y.

$$\frac{3}{4}y+13=25$$

Resta 13 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{3}{4}y=12$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{3}{4}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=16$$

Substitúe y por 16 en x=-\frac{1}{4}y+13. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{4}\times 16+13$$

Multiplica -\frac{1}{4} por 16.

$$x=-4+13$$

Suma 13 a -4.

$$x=9$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=9,y=16$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$8x+2y=104,x+y=25$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}8&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}104\\25\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}8&2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}104\\25\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}104\\25\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}104\\25\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8-2}&-\frac{2}{8-2}\\-\frac{1}{8-2}&\frac{8}{8-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}104\\25\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{6}&\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}104\\25\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 104-\frac{1}{3}\times 25\\-\frac{1}{6}\times 104+\frac{4}{3}\times 25\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\16\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=9,y=16$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$8x+2y=104,x+y=25$$

Para que 8x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 8.

$$8x+2y=104,8x+8y=8\times 25$$

Simplifica.

$$8x+2y=104,8x+8y=200$$

Resta 8x+8y=200 de 8x+2y=104 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$8x-8x+2y-8y=104-200$$

Suma 8x a -8x. 8x e -8x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2y-8y=104-200$$

Suma 2y a -8y.

$$-6y=104-200$$

Suma 104 a -200.

$$-6y=-96$$

Divide ambos lados entre -6.

$$y=16$$

Substitúe y por 16 en x+y=25. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+16=25$$

Resta 16 en ambos lados da ecuación.

$$x=9$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=9,y=16$$