Resolver {l}{8a-b=9}{4a+9b=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 a - b = 9 } \\ { 4 a + 9 b = 7 } \end{array} \right.$$

Resolver a, b

$$a = \frac{22}{19} = 1\frac{3}{19} \approx 1.157894737$$

$$b=\frac{5}{19}\approx 0.263157895$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$8a-b=9,4a+9b=7$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a a mediante o illamento de a no lado esquerdo do signo igual.

$$8a-b=9$$

Suma b en ambos lados da ecuación.

$$8a=b+9$$

Divide ambos lados entre 8.

$$a=\frac{1}{8}\left(b+9\right)$$

Multiplica \frac{1}{8} por b+9.

$$a=\frac{1}{8}b+\frac{9}{8}$$

Substitúe a por \frac{9+b}{8} na outra ecuación, 4a+9b=7.

$$4\left(\frac{1}{8}b+\frac{9}{8}\right)+9b=7$$

Multiplica 4 por \frac{9+b}{8}.

$$\frac{1}{2}b+\frac{9}{2}+9b=7$$

Suma \frac{b}{2} a 9b.

$$\frac{19}{2}b+\frac{9}{2}=7$$

Resta \frac{9}{2} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{19}{2}b=\frac{5}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{19}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$b=\frac{5}{19}$$

Substitúe b por \frac{5}{19} en a=\frac{1}{8}b+\frac{9}{8}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$a=\frac{1}{8}\times \frac{5}{19}+\frac{9}{8}$$

Multiplica \frac{1}{8} por \frac{5}{19} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$a=\frac{5}{152}+\frac{9}{8}$$

Suma \frac{9}{8} a \frac{5}{152} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$a=\frac{22}{19}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=\frac{22}{19},b=\frac{5}{19}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$8a-b=9,4a+9b=7$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{8\times 9-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{8\times 9-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{8\times 9-\left(-4\right)}&\frac{8}{8\times 9-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{76}&\frac{1}{76}\\-\frac{1}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{76}\times 9+\frac{1}{76}\times 7\\-\frac{1}{19}\times 9+\frac{2}{19}\times 7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{19}\\\frac{5}{19}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz a e b.

$$a=\frac{22}{19},b=\frac{5}{19}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$8a-b=9,4a+9b=7$$

Para que 8a e 4a sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por 8.

$$4\times 8a+4\left(-1\right)b=4\times 9,8\times 4a+8\times 9b=8\times 7$$

Simplifica.

$$32a-4b=36,32a+72b=56$$

Resta 32a+72b=56 de 32a-4b=36 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$32a-32a-4b-72b=36-56$$

Suma 32a a -32a. 32a e -32a anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-4b-72b=36-56$$

Suma -4b a -72b.

$$-76b=36-56$$

Suma 36 a -56.

$$-76b=-20$$

Divide ambos lados entre -76.

$$b=\frac{5}{19}$$

Substitúe b por \frac{5}{19} en 4a+9b=7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$4a+9\times \frac{5}{19}=7$$

Multiplica 9 por \frac{5}{19}.

$$4a+\frac{45}{19}=7$$

Resta \frac{45}{19} en ambos lados da ecuación.

$$4a=\frac{88}{19}$$

Divide ambos lados entre 4.

$$a=\frac{22}{19}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=\frac{22}{19},b=\frac{5}{19}$$