Resolver {l}{8+4x=2y}{-4x=14-3y}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 + 4 x = 2 y } \\ { - 4 x = 14 - 3 y } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=1$$

$$y=6$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 2y en ambos lados.

$$8+4x-2y=0$$

Resta 8 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$4x-2y=-8$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 3y en ambos lados.

$$-4x+3y=14$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x-2y=-8,-4x+3y=14$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x-2y=-8$$

Suma 2y en ambos lados da ecuación.

$$4x=2y-8$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y-8\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por -8+2y.

$$x=\frac{1}{2}y-2$$

Substitúe x por \frac{y}{2}-2 na outra ecuación, -4x+3y=14.

$$-4\left(\frac{1}{2}y-2\right)+3y=14$$

Multiplica -4 por \frac{y}{2}-2.

$$-2y+8+3y=14$$

Suma -2y a 3y.

$$y+8=14$$

Resta 8 en ambos lados da ecuación.

$$y=6$$

Substitúe y por 6 en x=\frac{1}{2}y-2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{2}\times 6-2$$

Multiplica \frac{1}{2} por 6.

$$x=3-2$$

Suma -2 a 3.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=6$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 2y en ambos lados.

$$8+4x-2y=0$$

Resta 8 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$4x-2y=-8$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 3y en ambos lados.

$$-4x+3y=14$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x-2y=-8,-4x+3y=14$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&-\frac{-2}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{2}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\left(-8\right)+\frac{1}{2}\times 14\\-8+14\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=1,y=6$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 2y en ambos lados.

$$8+4x-2y=0$$

Resta 8 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$4x-2y=-8$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 3y en ambos lados.

$$-4x+3y=14$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x-2y=-8,-4x+3y=14$$

Para que 4x e -4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -4 e todos os termos a cada lado da segunda por 4.

$$-4\times 4x-4\left(-2\right)y=-4\left(-8\right),4\left(-4\right)x+4\times 3y=4\times 14$$

Simplifica.

$$-16x+8y=32,-16x+12y=56$$

Resta -16x+12y=56 de -16x+8y=32 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-16x+16x+8y-12y=32-56$$

Suma -16x a 16x. -16x e 16x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$8y-12y=32-56$$

Suma 8y a -12y.

$$-4y=32-56$$

Suma 32 a -56.

$$-4y=-24$$

Divide ambos lados entre -4.

$$y=6$$

Substitúe y por 6 en -4x+3y=14. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-4x+3\times 6=14$$

Multiplica 3 por 6.

$$-4x+18=14$$

Resta 18 en ambos lados da ecuación.

$$-4x=-4$$

Divide ambos lados entre -4.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=6$$