Resolver {l}{73x-7y=66}{18x+98y=25}

$$\left. \begin{array} { l } { 73 x - 7 y = 66 } \\ { 18 x + 98 y = 25 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{73}{80}=0.9125$$

$$y=\frac{7}{80}=0.0875$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$73x-7y=66,18x+98y=25$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$73x-7y=66$$

Suma 7y en ambos lados da ecuación.

$$73x=7y+66$$

Divide ambos lados entre 73.

$$x=\frac{1}{73}\left(7y+66\right)$$

Multiplica \frac{1}{73} por 7y+66.

$$x=\frac{7}{73}y+\frac{66}{73}$$

Substitúe x por \frac{7y+66}{73} na outra ecuación, 18x+98y=25.

$$18\left(\frac{7}{73}y+\frac{66}{73}\right)+98y=25$$

Multiplica 18 por \frac{7y+66}{73}.

$$\frac{126}{73}y+\frac{1188}{73}+98y=25$$

Suma \frac{126y}{73} a 98y.

$$\frac{7280}{73}y+\frac{1188}{73}=25$$

Resta \frac{1188}{73} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{7280}{73}y=\frac{637}{73}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{7280}{73}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{7}{80}$$

Substitúe y por \frac{7}{80} en x=\frac{7}{73}y+\frac{66}{73}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{7}{73}\times \frac{7}{80}+\frac{66}{73}$$

Multiplica \frac{7}{73} por \frac{7}{80} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{49}{5840}+\frac{66}{73}$$

Suma \frac{66}{73} a \frac{49}{5840} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{73}{80}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{73}{80},y=\frac{7}{80}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$73x-7y=66,18x+98y=25$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}66\\25\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}66\\25\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}66\\25\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}66\\25\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{98}{73\times 98-\left(-7\times 18\right)}&-\frac{-7}{73\times 98-\left(-7\times 18\right)}\\-\frac{18}{73\times 98-\left(-7\times 18\right)}&\frac{73}{73\times 98-\left(-7\times 18\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}66\\25\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{520}&\frac{1}{1040}\\-\frac{9}{3640}&\frac{73}{7280}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}66\\25\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{520}\times 66+\frac{1}{1040}\times 25\\-\frac{9}{3640}\times 66+\frac{73}{7280}\times 25\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{73}{80}\\\frac{7}{80}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{73}{80},y=\frac{7}{80}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$73x-7y=66,18x+98y=25$$

Para que 73x e 18x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 18 e todos os termos a cada lado da segunda por 73.

$$18\times 73x+18\left(-7\right)y=18\times 66,73\times 18x+73\times 98y=73\times 25$$

Simplifica.

$$1314x-126y=1188,1314x+7154y=1825$$

Resta 1314x+7154y=1825 de 1314x-126y=1188 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$1314x-1314x-126y-7154y=1188-1825$$

Suma 1314x a -1314x. 1314x e -1314x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-126y-7154y=1188-1825$$

Suma -126y a -7154y.

$$-7280y=1188-1825$$

Suma 1188 a -1825.

$$-7280y=-637$$

Divide ambos lados entre -7280.

$$y=\frac{7}{80}$$

Substitúe y por \frac{7}{80} en 18x+98y=25. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$18x+98\times \frac{7}{80}=25$$

Multiplica 98 por \frac{7}{80}.

$$18x+\frac{343}{40}=25$$

Resta \frac{343}{40} en ambos lados da ecuación.

$$18x=\frac{657}{40}$$

Divide ambos lados entre 18.

$$x=\frac{73}{80}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{73}{80},y=\frac{7}{80}$$