Resolver {l}{7x=y-39}{11x=y+9}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x = y - 39 } \\ { 11 x = y + 9 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=12$$

$$y=123$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta y en ambos lados.

$$7x-y=-39$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta y en ambos lados.

$$11x-y=9$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$7x-y=-39,11x-y=9$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$7x-y=-39$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$7x=y-39$$

Divide ambos lados entre 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(y-39\right)$$

Multiplica \frac{1}{7} por y-39.

$$x=\frac{1}{7}y-\frac{39}{7}$$

Substitúe x por \frac{-39+y}{7} na outra ecuación, 11x-y=9.

$$11\left(\frac{1}{7}y-\frac{39}{7}\right)-y=9$$

Multiplica 11 por \frac{-39+y}{7}.

$$\frac{11}{7}y-\frac{429}{7}-y=9$$

Suma \frac{11y}{7} a -y.

$$\frac{4}{7}y-\frac{429}{7}=9$$

Suma \frac{429}{7} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{4}{7}y=\frac{492}{7}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{4}{7}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=123$$

Substitúe y por 123 en x=\frac{1}{7}y-\frac{39}{7}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{7}\times 123-\frac{39}{7}$$

Multiplica \frac{1}{7} por 123.

$$x=\frac{123-39}{7}$$

Suma -\frac{39}{7} a \frac{123}{7} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=12$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=12,y=123$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta y en ambos lados.

$$7x-y=-39$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta y en ambos lados.

$$11x-y=9$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$7x-y=-39,11x-y=9$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-39\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-39\\9\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-39\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-39\\9\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}&-\frac{-1}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}\\-\frac{11}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}&\frac{7}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-39\\9\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{11}{4}&\frac{7}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-39\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-39\right)+\frac{1}{4}\times 9\\-\frac{11}{4}\left(-39\right)+\frac{7}{4}\times 9\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\123\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=12,y=123$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta y en ambos lados.

$$7x-y=-39$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta y en ambos lados.

$$11x-y=9$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$7x-y=-39,11x-y=9$$

Resta 11x-y=9 de 7x-y=-39 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$7x-11x-y+y=-39-9$$

Suma -y a y. -y e y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$7x-11x=-39-9$$

Suma 7x a -11x.

$$-4x=-39-9$$

Suma -39 a -9.

$$-4x=-48$$

Divide ambos lados entre -4.

$$x=12$$

Substitúe x por 12 en 11x-y=9. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$11\times 12-y=9$$

Multiplica 11 por 12.

$$132-y=9$$

Resta 132 en ambos lados da ecuación.

$$-y=-123$$

Divide ambos lados entre -1.

$$y=123$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=12,y=123$$