Resolver {l}{7x=y+39}{11x=y-9}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x = y + 39 } \\ { 11 x = y - 9 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-12$$

$$y=-123$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta y en ambos lados.

$$7x-y=39$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta y en ambos lados.

$$11x-y=-9$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$7x-y=39,11x-y=-9$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$7x-y=39$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$7x=y+39$$

Divide ambos lados entre 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(y+39\right)$$

Multiplica \frac{1}{7} por y+39.

$$x=\frac{1}{7}y+\frac{39}{7}$$

Substitúe x por \frac{39+y}{7} na outra ecuación, 11x-y=-9.

$$11\left(\frac{1}{7}y+\frac{39}{7}\right)-y=-9$$

Multiplica 11 por \frac{39+y}{7}.

$$\frac{11}{7}y+\frac{429}{7}-y=-9$$

Suma \frac{11y}{7} a -y.

$$\frac{4}{7}y+\frac{429}{7}=-9$$

Resta \frac{429}{7} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{4}{7}y=-\frac{492}{7}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{4}{7}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-123$$

Substitúe y por -123 en x=\frac{1}{7}y+\frac{39}{7}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{7}\left(-123\right)+\frac{39}{7}$$

Multiplica \frac{1}{7} por -123.

$$x=\frac{-123+39}{7}$$

Suma \frac{39}{7} a -\frac{123}{7} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-12$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-12,y=-123$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta y en ambos lados.

$$7x-y=39$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta y en ambos lados.

$$11x-y=-9$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$7x-y=39,11x-y=-9$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}39\\-9\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\-9\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\-9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\-9\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}&-\frac{-1}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}\\-\frac{11}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}&\frac{7}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\-9\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{11}{4}&\frac{7}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\-9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 39+\frac{1}{4}\left(-9\right)\\-\frac{11}{4}\times 39+\frac{7}{4}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\-123\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-12,y=-123$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta y en ambos lados.

$$7x-y=39$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta y en ambos lados.

$$11x-y=-9$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$7x-y=39,11x-y=-9$$

Resta 11x-y=-9 de 7x-y=39 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$7x-11x-y+y=39+9$$

Suma -y a y. -y e y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$7x-11x=39+9$$

Suma 7x a -11x.

$$-4x=39+9$$

Suma 39 a 9.

$$-4x=48$$

Divide ambos lados entre -4.

$$x=-12$$

Substitúe x por -12 en 11x-y=-9. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$11\left(-12\right)-y=-9$$

Multiplica 11 por -12.

$$-132-y=-9$$

Suma 132 en ambos lados da ecuación.

$$-y=123$$

Divide ambos lados entre -1.

$$y=-123$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-12,y=-123$$