Resolver {l}{7x+y=-9}{-3x-y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + y = - 9 } \\ { - 3 x - y = 5 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-1$$

$$y=-2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$7x+y=-9,-3x-y=5$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$7x+y=-9$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$7x=-y-9$$

Divide ambos lados entre 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-y-9\right)$$

Multiplica \frac{1}{7} por -y-9.

$$x=-\frac{1}{7}y-\frac{9}{7}$$

Substitúe x por \frac{-y-9}{7} na outra ecuación, -3x-y=5.

$$-3\left(-\frac{1}{7}y-\frac{9}{7}\right)-y=5$$

Multiplica -3 por \frac{-y-9}{7}.

$$\frac{3}{7}y+\frac{27}{7}-y=5$$

Suma \frac{3y}{7} a -y.

$$-\frac{4}{7}y+\frac{27}{7}=5$$

Resta \frac{27}{7} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{4}{7}y=\frac{8}{7}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{4}{7}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-2$$

Substitúe y por -2 en x=-\frac{1}{7}y-\frac{9}{7}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{7}\left(-2\right)-\frac{9}{7}$$

Multiplica -\frac{1}{7} por -2.

$$x=\frac{2-9}{7}$$

Suma -\frac{9}{7} a \frac{2}{7} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-1,y=-2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$7x+y=-9,-3x-y=5$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}7&1\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}7&1\\-3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&1\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7\left(-1\right)-\left(-3\right)}&-\frac{1}{7\left(-1\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{7\left(-1\right)-\left(-3\right)}&\frac{7}{7\left(-1\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{4}&-\frac{7}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-9\right)+\frac{1}{4}\times 5\\-\frac{3}{4}\left(-9\right)-\frac{7}{4}\times 5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-1,y=-2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$7x+y=-9,-3x-y=5$$

Para que 7x e -3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -3 e todos os termos a cada lado da segunda por 7.

$$-3\times 7x-3y=-3\left(-9\right),7\left(-3\right)x+7\left(-1\right)y=7\times 5$$

Simplifica.

$$-21x-3y=27,-21x-7y=35$$

Resta -21x-7y=35 de -21x-3y=27 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-21x+21x-3y+7y=27-35$$

Suma -21x a 21x. -21x e 21x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-3y+7y=27-35$$

Suma -3y a 7y.

$$4y=27-35$$

Suma 27 a -35.

$$4y=-8$$

Divide ambos lados entre 4.

$$y=-2$$

Substitúe y por -2 en -3x-y=5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-3x-\left(-2\right)=5$$

Resta 2 en ambos lados da ecuación.

$$-3x=3$$

Divide ambos lados entre -3.

$$x=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-1,y=-2$$