Resolver {l}{7x+8y=30}{8x-5y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 8 y = 30 } \\ { 8 x - 5 y = 6 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=2$$

$$y=2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$7x+8y=30,8x-5y=6$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$7x+8y=30$$

Resta 8y en ambos lados da ecuación.

$$7x=-8y+30$$

Divide ambos lados entre 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-8y+30\right)$$

Multiplica \frac{1}{7} por -8y+30.

$$x=-\frac{8}{7}y+\frac{30}{7}$$

Substitúe x por \frac{-8y+30}{7} na outra ecuación, 8x-5y=6.

$$8\left(-\frac{8}{7}y+\frac{30}{7}\right)-5y=6$$

Multiplica 8 por \frac{-8y+30}{7}.

$$-\frac{64}{7}y+\frac{240}{7}-5y=6$$

Suma -\frac{64y}{7} a -5y.

$$-\frac{99}{7}y+\frac{240}{7}=6$$

Resta \frac{240}{7} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{99}{7}y=-\frac{198}{7}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{99}{7}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en x=-\frac{8}{7}y+\frac{30}{7}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{8}{7}\times 2+\frac{30}{7}$$

Multiplica -\frac{8}{7} por 2.

$$x=\frac{-16+30}{7}$$

Suma \frac{30}{7} a -\frac{16}{7} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$7x+8y=30,8x-5y=6$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}7&8\\8&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}7&8\\8&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&8\\8&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{7\left(-5\right)-8\times 8}&-\frac{8}{7\left(-5\right)-8\times 8}\\-\frac{8}{7\left(-5\right)-8\times 8}&\frac{7}{7\left(-5\right)-8\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{99}&\frac{8}{99}\\\frac{8}{99}&-\frac{7}{99}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{99}\times 30+\frac{8}{99}\times 6\\\frac{8}{99}\times 30-\frac{7}{99}\times 6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=2,y=2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$7x+8y=30,8x-5y=6$$

Para que 7x e 8x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 8 e todos os termos a cada lado da segunda por 7.

$$8\times 7x+8\times 8y=8\times 30,7\times 8x+7\left(-5\right)y=7\times 6$$

Simplifica.

$$56x+64y=240,56x-35y=42$$

Resta 56x-35y=42 de 56x+64y=240 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$56x-56x+64y+35y=240-42$$

Suma 56x a -56x. 56x e -56x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$64y+35y=240-42$$

Suma 64y a 35y.

$$99y=240-42$$

Suma 240 a -42.

$$99y=198$$

Divide ambos lados entre 99.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en 8x-5y=6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$8x-5\times 2=6$$

Multiplica -5 por 2.

$$8x-10=6$$

Suma 10 en ambos lados da ecuación.

$$8x=16$$

Divide ambos lados entre 8.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=2$$