Resolver {l}{7x+6y=18}{x=4-y/2}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 6 y = 18 } \\ { x = 4 - \frac { y } { 2 } } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=6$$

$$y=-4$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir \frac{y}{2} en ambos lados.

$$x+\frac{y}{2}=4$$

Multiplica ambos lados da ecuación por 2.

$$2x+y=8$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$7x+6y=18,2x+y=8$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$7x+6y=18$$

Resta 6y en ambos lados da ecuación.

$$7x=-6y+18$$

Divide ambos lados entre 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-6y+18\right)$$

Multiplica \frac{1}{7} por -6y+18.

$$x=-\frac{6}{7}y+\frac{18}{7}$$

Substitúe x por \frac{-6y+18}{7} na outra ecuación, 2x+y=8.

$$2\left(-\frac{6}{7}y+\frac{18}{7}\right)+y=8$$

Multiplica 2 por \frac{-6y+18}{7}.

$$-\frac{12}{7}y+\frac{36}{7}+y=8$$

Suma -\frac{12y}{7} a y.

$$-\frac{5}{7}y+\frac{36}{7}=8$$

Resta \frac{36}{7} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{5}{7}y=\frac{20}{7}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{5}{7}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-4$$

Substitúe y por -4 en x=-\frac{6}{7}y+\frac{18}{7}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{6}{7}\left(-4\right)+\frac{18}{7}$$

Multiplica -\frac{6}{7} por -4.

$$x=\frac{24+18}{7}$$

Suma \frac{18}{7} a \frac{24}{7} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=6$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=6,y=-4$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir \frac{y}{2} en ambos lados.

$$x+\frac{y}{2}=4$$

Multiplica ambos lados da ecuación por 2.

$$2x+y=8$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$7x+6y=18,2x+y=8$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7-6\times 2}&-\frac{6}{7-6\times 2}\\-\frac{2}{7-6\times 2}&\frac{7}{7-6\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{6}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 18+\frac{6}{5}\times 8\\\frac{2}{5}\times 18-\frac{7}{5}\times 8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=6,y=-4$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir \frac{y}{2} en ambos lados.

$$x+\frac{y}{2}=4$$

Multiplica ambos lados da ecuación por 2.

$$2x+y=8$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$7x+6y=18,2x+y=8$$

Para que 7x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 7.

$$2\times 7x+2\times 6y=2\times 18,7\times 2x+7y=7\times 8$$

Simplifica.

$$14x+12y=36,14x+7y=56$$

Resta 14x+7y=56 de 14x+12y=36 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$14x-14x+12y-7y=36-56$$

Suma 14x a -14x. 14x e -14x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$12y-7y=36-56$$

Suma 12y a -7y.

$$5y=36-56$$

Suma 36 a -56.

$$5y=-20$$

Divide ambos lados entre 5.

$$y=-4$$

Substitúe y por -4 en 2x+y=8. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x-4=8$$

Suma 4 en ambos lados da ecuación.

$$2x=12$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=6$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=6,y=-4$$