Resolver {l}{7x+5y=12}{8x-2y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 5 y = 12 } \\ { 8 x - 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{59}{54} = 1\frac{5}{54} \approx 1.092592593$$

$$y=\frac{47}{54}\approx 0.87037037$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$7x+5y=12,8x-2y=7$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$7x+5y=12$$

Resta 5y en ambos lados da ecuación.

$$7x=-5y+12$$

Divide ambos lados entre 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-5y+12\right)$$

Multiplica \frac{1}{7} por -5y+12.

$$x=-\frac{5}{7}y+\frac{12}{7}$$

Substitúe x por \frac{-5y+12}{7} na outra ecuación, 8x-2y=7.

$$8\left(-\frac{5}{7}y+\frac{12}{7}\right)-2y=7$$

Multiplica 8 por \frac{-5y+12}{7}.

$$-\frac{40}{7}y+\frac{96}{7}-2y=7$$

Suma -\frac{40y}{7} a -2y.

$$-\frac{54}{7}y+\frac{96}{7}=7$$

Resta \frac{96}{7} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{54}{7}y=-\frac{47}{7}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{54}{7}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{47}{54}$$

Substitúe y por \frac{47}{54} en x=-\frac{5}{7}y+\frac{12}{7}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{5}{7}\times \frac{47}{54}+\frac{12}{7}$$

Multiplica -\frac{5}{7} por \frac{47}{54} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{235}{378}+\frac{12}{7}$$

Suma \frac{12}{7} a -\frac{235}{378} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{59}{54}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{59}{54},y=\frac{47}{54}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$7x+5y=12,8x-2y=7$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7\left(-2\right)-5\times 8}&-\frac{5}{7\left(-2\right)-5\times 8}\\-\frac{8}{7\left(-2\right)-5\times 8}&\frac{7}{7\left(-2\right)-5\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{27}&\frac{5}{54}\\\frac{4}{27}&-\frac{7}{54}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{27}\times 12+\frac{5}{54}\times 7\\\frac{4}{27}\times 12-\frac{7}{54}\times 7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{59}{54}\\\frac{47}{54}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{59}{54},y=\frac{47}{54}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$7x+5y=12,8x-2y=7$$

Para que 7x e 8x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 8 e todos os termos a cada lado da segunda por 7.

$$8\times 7x+8\times 5y=8\times 12,7\times 8x+7\left(-2\right)y=7\times 7$$

Simplifica.

$$56x+40y=96,56x-14y=49$$

Resta 56x-14y=49 de 56x+40y=96 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$56x-56x+40y+14y=96-49$$

Suma 56x a -56x. 56x e -56x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$40y+14y=96-49$$

Suma 40y a 14y.

$$54y=96-49$$

Suma 96 a -49.

$$54y=47$$

Divide ambos lados entre 54.

$$y=\frac{47}{54}$$

Substitúe y por \frac{47}{54} en 8x-2y=7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$8x-2\times \frac{47}{54}=7$$

Multiplica -2 por \frac{47}{54}.

$$8x-\frac{47}{27}=7$$

Suma \frac{47}{27} en ambos lados da ecuación.

$$8x=\frac{236}{27}$$

Divide ambos lados entre 8.

$$x=\frac{59}{54}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{59}{54},y=\frac{47}{54}$$