Resolver {l}{7x+44y=2}{9x+y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 44 y = 2 } \\ { 9 x + y = 7 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{306}{389}\approx 0.786632391$$

$$y=-\frac{31}{389}\approx -0.079691517$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$7x+44y=2,9x+y=7$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$7x+44y=2$$

Resta 44y en ambos lados da ecuación.

$$7x=-44y+2$$

Divide ambos lados entre 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-44y+2\right)$$

Multiplica \frac{1}{7} por -44y+2.

$$x=-\frac{44}{7}y+\frac{2}{7}$$

Substitúe x por \frac{-44y+2}{7} na outra ecuación, 9x+y=7.

$$9\left(-\frac{44}{7}y+\frac{2}{7}\right)+y=7$$

Multiplica 9 por \frac{-44y+2}{7}.

$$-\frac{396}{7}y+\frac{18}{7}+y=7$$

Suma -\frac{396y}{7} a y.

$$-\frac{389}{7}y+\frac{18}{7}=7$$

Resta \frac{18}{7} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{389}{7}y=\frac{31}{7}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{389}{7}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{31}{389}$$

Substitúe y por -\frac{31}{389} en x=-\frac{44}{7}y+\frac{2}{7}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{44}{7}\left(-\frac{31}{389}\right)+\frac{2}{7}$$

Multiplica -\frac{44}{7} por -\frac{31}{389} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{1364}{2723}+\frac{2}{7}$$

Suma \frac{2}{7} a \frac{1364}{2723} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{306}{389}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{306}{389},y=-\frac{31}{389}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$7x+44y=2,9x+y=7$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}7&44\\9&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}7&44\\9&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&44\\9&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&44\\9&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&44\\9&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&44\\9&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&44\\9&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7-44\times 9}&-\frac{44}{7-44\times 9}\\-\frac{9}{7-44\times 9}&\frac{7}{7-44\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{389}&\frac{44}{389}\\\frac{9}{389}&-\frac{7}{389}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{389}\times 2+\frac{44}{389}\times 7\\\frac{9}{389}\times 2-\frac{7}{389}\times 7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{306}{389}\\-\frac{31}{389}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{306}{389},y=-\frac{31}{389}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$7x+44y=2,9x+y=7$$

Para que 7x e 9x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 9 e todos os termos a cada lado da segunda por 7.

$$9\times 7x+9\times 44y=9\times 2,7\times 9x+7y=7\times 7$$

Simplifica.

$$63x+396y=18,63x+7y=49$$

Resta 63x+7y=49 de 63x+396y=18 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$63x-63x+396y-7y=18-49$$

Suma 63x a -63x. 63x e -63x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$396y-7y=18-49$$

Suma 396y a -7y.

$$389y=18-49$$

Suma 18 a -49.

$$389y=-31$$

Divide ambos lados entre 389.

$$y=-\frac{31}{389}$$

Substitúe y por -\frac{31}{389} en 9x+y=7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$9x-\frac{31}{389}=7$$

Suma \frac{31}{389} en ambos lados da ecuación.

$$9x=\frac{2754}{389}$$

Divide ambos lados entre 9.

$$x=\frac{306}{389}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{306}{389},y=-\frac{31}{389}$$