Resolver {l}{7x+4y=52}{4x-4y=-8}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 4 y = 52 } \\ { 4 x - 4 y = - 8 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=4$$

$$y=6$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$7x+4y=52,4x-4y=-8$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$7x+4y=52$$

Resta 4y en ambos lados da ecuación.

$$7x=-4y+52$$

Divide ambos lados entre 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-4y+52\right)$$

Multiplica \frac{1}{7} por -4y+52.

$$x=-\frac{4}{7}y+\frac{52}{7}$$

Substitúe x por \frac{-4y+52}{7} na outra ecuación, 4x-4y=-8.

$$4\left(-\frac{4}{7}y+\frac{52}{7}\right)-4y=-8$$

Multiplica 4 por \frac{-4y+52}{7}.

$$-\frac{16}{7}y+\frac{208}{7}-4y=-8$$

Suma -\frac{16y}{7} a -4y.

$$-\frac{44}{7}y+\frac{208}{7}=-8$$

Resta \frac{208}{7} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{44}{7}y=-\frac{264}{7}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{44}{7}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=6$$

Substitúe y por 6 en x=-\frac{4}{7}y+\frac{52}{7}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{4}{7}\times 6+\frac{52}{7}$$

Multiplica -\frac{4}{7} por 6.

$$x=\frac{-24+52}{7}$$

Suma \frac{52}{7} a -\frac{24}{7} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=4,y=6$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$7x+4y=52,4x-4y=-8$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7\left(-4\right)-4\times 4}&-\frac{4}{7\left(-4\right)-4\times 4}\\-\frac{4}{7\left(-4\right)-4\times 4}&\frac{7}{7\left(-4\right)-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{1}{11}&-\frac{7}{44}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 52+\frac{1}{11}\left(-8\right)\\\frac{1}{11}\times 52-\frac{7}{44}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=4,y=6$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$7x+4y=52,4x-4y=-8$$

Para que 7x e 4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por 7.

$$4\times 7x+4\times 4y=4\times 52,7\times 4x+7\left(-4\right)y=7\left(-8\right)$$

Simplifica.

$$28x+16y=208,28x-28y=-56$$

Resta 28x-28y=-56 de 28x+16y=208 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$28x-28x+16y+28y=208+56$$

Suma 28x a -28x. 28x e -28x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$16y+28y=208+56$$

Suma 16y a 28y.

$$44y=208+56$$

Suma 208 a 56.

$$44y=264$$

Divide ambos lados entre 44.

$$y=6$$

Substitúe y por 6 en 4x-4y=-8. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$4x-4\times 6=-8$$

Multiplica -4 por 6.

$$4x-24=-8$$

Suma 24 en ambos lados da ecuación.

$$4x=16$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=4,y=6$$