Resolver {l}{7x+3y=4}{2x+4y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 3 y = 4 } \\ { 2 x + 4 y = 8 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-\frac{4}{11}\approx -0.363636364$$

$$y = \frac{24}{11} = 2\frac{2}{11} \approx 2.181818182$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$7x+3y=4,2x+4y=8$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$7x+3y=4$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$7x=-3y+4$$

Divide ambos lados entre 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-3y+4\right)$$

Multiplica \frac{1}{7} por -3y+4.

$$x=-\frac{3}{7}y+\frac{4}{7}$$

Substitúe x por \frac{-3y+4}{7} na outra ecuación, 2x+4y=8.

$$2\left(-\frac{3}{7}y+\frac{4}{7}\right)+4y=8$$

Multiplica 2 por \frac{-3y+4}{7}.

$$-\frac{6}{7}y+\frac{8}{7}+4y=8$$

Suma -\frac{6y}{7} a 4y.

$$\frac{22}{7}y+\frac{8}{7}=8$$

Resta \frac{8}{7} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{22}{7}y=\frac{48}{7}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{22}{7}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{24}{11}$$

Substitúe y por \frac{24}{11} en x=-\frac{3}{7}y+\frac{4}{7}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{7}\times \frac{24}{11}+\frac{4}{7}$$

Multiplica -\frac{3}{7} por \frac{24}{11} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{72}{77}+\frac{4}{7}$$

Suma \frac{4}{7} a -\frac{72}{77} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{4}{11}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{4}{11},y=\frac{24}{11}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$7x+3y=4,2x+4y=8$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7\times 4-3\times 2}&-\frac{3}{7\times 4-3\times 2}\\-\frac{2}{7\times 4-3\times 2}&\frac{7}{7\times 4-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&-\frac{3}{22}\\-\frac{1}{11}&\frac{7}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 4-\frac{3}{22}\times 8\\-\frac{1}{11}\times 4+\frac{7}{22}\times 8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{11}\\\frac{24}{11}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{4}{11},y=\frac{24}{11}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$7x+3y=4,2x+4y=8$$

Para que 7x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 7.

$$2\times 7x+2\times 3y=2\times 4,7\times 2x+7\times 4y=7\times 8$$

Simplifica.

$$14x+6y=8,14x+28y=56$$

Resta 14x+28y=56 de 14x+6y=8 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$14x-14x+6y-28y=8-56$$

Suma 14x a -14x. 14x e -14x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$6y-28y=8-56$$

Suma 6y a -28y.

$$-22y=8-56$$

Suma 8 a -56.

$$-22y=-48$$

Divide ambos lados entre -22.

$$y=\frac{24}{11}$$

Substitúe y por \frac{24}{11} en 2x+4y=8. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x+4\times \frac{24}{11}=8$$

Multiplica 4 por \frac{24}{11}.

$$2x+\frac{96}{11}=8$$

Resta \frac{96}{11} en ambos lados da ecuación.

$$2x=-\frac{8}{11}$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=-\frac{4}{11}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{4}{11},y=\frac{24}{11}$$