Resolver {l}{7w+2z=16}{5w=2z+8}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 w + 2 z = 16 } \\ { 5 w = 2 z + 8 } \end{array} \right.$$

Resolver w, z

$$z=1$$

$$w=2$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 2z en ambos lados.

$$5w-2z=8$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$7w+2z=16,5w-2z=8$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a w mediante o illamento de w no lado esquerdo do signo igual.

$$7w+2z=16$$

Resta 2z en ambos lados da ecuación.

$$7w=-2z+16$$

Divide ambos lados entre 7.

$$w=\frac{1}{7}\left(-2z+16\right)$$

Multiplica \frac{1}{7} por -2z+16.

$$w=-\frac{2}{7}z+\frac{16}{7}$$

Substitúe w por \frac{-2z+16}{7} na outra ecuación, 5w-2z=8.

$$5\left(-\frac{2}{7}z+\frac{16}{7}\right)-2z=8$$

Multiplica 5 por \frac{-2z+16}{7}.

$$-\frac{10}{7}z+\frac{80}{7}-2z=8$$

Suma -\frac{10z}{7} a -2z.

$$-\frac{24}{7}z+\frac{80}{7}=8$$

Resta \frac{80}{7} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{24}{7}z=-\frac{24}{7}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{24}{7}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$z=1$$

Substitúe z por 1 en w=-\frac{2}{7}z+\frac{16}{7}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar w directamente.

$$w=\frac{-2+16}{7}$$

Suma \frac{16}{7} a -\frac{2}{7} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$w=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$w=2,z=1$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 2z en ambos lados.

$$5w-2z=8$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$7w+2z=16,5w-2z=8$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7\left(-2\right)-2\times 5}&-\frac{2}{7\left(-2\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{7\left(-2\right)-2\times 5}&\frac{7}{7\left(-2\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\\\frac{5}{24}&-\frac{7}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\times 16+\frac{1}{12}\times 8\\\frac{5}{24}\times 16-\frac{7}{24}\times 8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz w e z.

$$w=2,z=1$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 2z en ambos lados.

$$5w-2z=8$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$7w+2z=16,5w-2z=8$$

Para que 7w e 5w sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 5 e todos os termos a cada lado da segunda por 7.

$$5\times 7w+5\times 2z=5\times 16,7\times 5w+7\left(-2\right)z=7\times 8$$

Simplifica.

$$35w+10z=80,35w-14z=56$$

Resta 35w-14z=56 de 35w+10z=80 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$35w-35w+10z+14z=80-56$$

Suma 35w a -35w. 35w e -35w anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$10z+14z=80-56$$

Suma 10z a 14z.

$$24z=80-56$$

Suma 80 a -56.

$$24z=24$$

Divide ambos lados entre 24.

$$z=1$$

Substitúe z por 1 en 5w-2z=8. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar w directamente.

$$5w-2=8$$

Suma 2 en ambos lados da ecuación.

$$5w=10$$

Divide ambos lados entre 5.

$$w=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$w=2,z=1$$