Resolver {l}{62x+y=44}{34x-y=36}

$$\left. \begin{array} { l } { 62 x + y = 44 } \\ { 34 x - y = 36 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$y = -\frac{23}{3} = -7\frac{2}{3} \approx -7.666666667$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$62x+y=44,34x-y=36$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$62x+y=44$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$62x=-y+44$$

Divide ambos lados entre 62.

$$x=\frac{1}{62}\left(-y+44\right)$$

Multiplica \frac{1}{62} por -y+44.

$$x=-\frac{1}{62}y+\frac{22}{31}$$

Substitúe x por -\frac{y}{62}+\frac{22}{31} na outra ecuación, 34x-y=36.

$$34\left(-\frac{1}{62}y+\frac{22}{31}\right)-y=36$$

Multiplica 34 por -\frac{y}{62}+\frac{22}{31}.

$$-\frac{17}{31}y+\frac{748}{31}-y=36$$

Suma -\frac{17y}{31} a -y.

$$-\frac{48}{31}y+\frac{748}{31}=36$$

Resta \frac{748}{31} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{48}{31}y=\frac{368}{31}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{48}{31}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{23}{3}$$

Substitúe y por -\frac{23}{3} en x=-\frac{1}{62}y+\frac{22}{31}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{62}\left(-\frac{23}{3}\right)+\frac{22}{31}$$

Multiplica -\frac{1}{62} por -\frac{23}{3} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{23}{186}+\frac{22}{31}$$

Suma \frac{22}{31} a \frac{23}{186} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{5}{6}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{5}{6},y=-\frac{23}{3}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$62x+y=44,34x-y=36$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{62\left(-1\right)-34}&-\frac{1}{62\left(-1\right)-34}\\-\frac{34}{62\left(-1\right)-34}&\frac{62}{62\left(-1\right)-34}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{96}&\frac{1}{96}\\\frac{17}{48}&-\frac{31}{48}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{96}\times 44+\frac{1}{96}\times 36\\\frac{17}{48}\times 44-\frac{31}{48}\times 36\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\-\frac{23}{3}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{5}{6},y=-\frac{23}{3}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$62x+y=44,34x-y=36$$

Para que 62x e 34x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 34 e todos os termos a cada lado da segunda por 62.

$$34\times 62x+34y=34\times 44,62\times 34x+62\left(-1\right)y=62\times 36$$

Simplifica.

$$2108x+34y=1496,2108x-62y=2232$$

Resta 2108x-62y=2232 de 2108x+34y=1496 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2108x-2108x+34y+62y=1496-2232$$

Suma 2108x a -2108x. 2108x e -2108x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$34y+62y=1496-2232$$

Suma 34y a 62y.

$$96y=1496-2232$$

Suma 1496 a -2232.

$$96y=-736$$

Divide ambos lados entre 96.

$$y=-\frac{23}{3}$$

Substitúe y por -\frac{23}{3} en 34x-y=36. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$34x-\left(-\frac{23}{3}\right)=36$$

Resta \frac{23}{3} en ambos lados da ecuación.

$$34x=\frac{85}{3}$$

Divide ambos lados entre 34.

$$x=\frac{5}{6}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{5}{6},y=-\frac{23}{3}$$