Resolver {l}{6.5x+y=9}{1.6x+0.2y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 6.5 x + y = 9 } \\ { 1.6 x + 0.2 y = 13 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{112}{3} = 37\frac{1}{3} \approx 37.333333333$$

$$y = -\frac{701}{3} = -233\frac{2}{3} \approx -233.666666667$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$6.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$6.5x+y=9$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$6.5x=-y+9$$

Divide ambos lados da ecuación entre 6.5, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=\frac{2}{13}\left(-y+9\right)$$

Multiplica \frac{2}{13} por -y+9.

$$x=-\frac{2}{13}y+\frac{18}{13}$$

Substitúe x por \frac{-2y+18}{13} na outra ecuación, 1.6x+0.2y=13.

$$1.6\left(-\frac{2}{13}y+\frac{18}{13}\right)+0.2y=13$$

Multiplica 1.6 por \frac{-2y+18}{13}.

$$-\frac{16}{65}y+\frac{144}{65}+0.2y=13$$

Suma -\frac{16y}{65} a \frac{y}{5}.

$$-\frac{3}{65}y+\frac{144}{65}=13$$

Resta \frac{144}{65} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{3}{65}y=\frac{701}{65}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{3}{65}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{701}{3}$$

Substitúe y por -\frac{701}{3} en x=-\frac{2}{13}y+\frac{18}{13}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{2}{13}\left(-\frac{701}{3}\right)+\frac{18}{13}$$

Multiplica -\frac{2}{13} por -\frac{701}{3} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{1402}{39}+\frac{18}{13}$$

Suma \frac{18}{13} a \frac{1402}{39} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{112}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{112}{3},y=-\frac{701}{3}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$6.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.2}{6.5\times 0.2-1.6}&-\frac{1}{6.5\times 0.2-1.6}\\-\frac{1.6}{6.5\times 0.2-1.6}&\frac{6.5}{6.5\times 0.2-1.6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{10}{3}\\\frac{16}{3}&-\frac{65}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 9+\frac{10}{3}\times 13\\\frac{16}{3}\times 9-\frac{65}{3}\times 13\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{112}{3}\\-\frac{701}{3}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{112}{3},y=-\frac{701}{3}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$6.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

Para que \frac{13x}{2} e \frac{8x}{5} sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1.6 e todos os termos a cada lado da segunda por 6.5.

$$1.6\times 6.5x+1.6y=1.6\times 9,6.5\times 1.6x+6.5\times 0.2y=6.5\times 13$$

Simplifica.

$$10.4x+1.6y=14.4,10.4x+1.3y=84.5$$

Resta 10.4x+1.3y=84.5 de 10.4x+1.6y=14.4 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$10.4x-10.4x+1.6y-1.3y=14.4-84.5$$

Suma \frac{52x}{5} a -\frac{52x}{5}. \frac{52x}{5} e -\frac{52x}{5} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$1.6y-1.3y=14.4-84.5$$

Suma \frac{8y}{5} a -\frac{13y}{10}.

$$0.3y=14.4-84.5$$

Suma 14.4 a -84.5 mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$0.3y=-70.1$$

Divide ambos lados da ecuación entre 0.3, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{701}{3}$$

Substitúe y por -\frac{701}{3} en 1.6x+0.2y=13. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$1.6x+0.2\left(-\frac{701}{3}\right)=13$$

Multiplica 0.2 por -\frac{701}{3} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$1.6x-\frac{701}{15}=13$$

Suma \frac{701}{15} en ambos lados da ecuación.

$$1.6x=\frac{896}{15}$$

Divide ambos lados da ecuación entre 1.6, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=\frac{112}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{112}{3},y=-\frac{701}{3}$$