Resolver {l}{6y+4x=27}{x+y=50}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 y + 4 x = 27 } \\ { x + y = 50 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x = \frac{273}{2} = 136\frac{1}{2} = 136.5$$

$$y = -\frac{173}{2} = -86\frac{1}{2} = -86.5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$6y+4x=27,y+x=50$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$6y+4x=27$$

Resta 4x en ambos lados da ecuación.

$$6y=-4x+27$$

Divide ambos lados entre 6.

$$y=\frac{1}{6}\left(-4x+27\right)$$

Multiplica \frac{1}{6} por -4x+27.

$$y=-\frac{2}{3}x+\frac{9}{2}$$

Substitúe y por -\frac{2x}{3}+\frac{9}{2} na outra ecuación, y+x=50.

$$-\frac{2}{3}x+\frac{9}{2}+x=50$$

Suma -\frac{2x}{3} a x.

$$\frac{1}{3}x+\frac{9}{2}=50$$

Resta \frac{9}{2} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{1}{3}x=\frac{91}{2}$$

Multiplica ambos lados por 3.

$$x=\frac{273}{2}$$

Substitúe x por \frac{273}{2} en y=-\frac{2}{3}x+\frac{9}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=-\frac{2}{3}\times \frac{273}{2}+\frac{9}{2}$$

Multiplica -\frac{2}{3} por \frac{273}{2} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$y=-91+\frac{9}{2}$$

Suma \frac{9}{2} a -91.

$$y=-\frac{173}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-\frac{173}{2},x=\frac{273}{2}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$6y+4x=27,y+x=50$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-4}&-\frac{4}{6-4}\\-\frac{1}{6-4}&\frac{6}{6-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-2\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 27-2\times 50\\-\frac{1}{2}\times 27+3\times 50\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{173}{2}\\\frac{273}{2}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=-\frac{173}{2},x=\frac{273}{2}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$6y+4x=27,y+x=50$$

Para que 6y e y sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 6.

$$6y+4x=27,6y+6x=6\times 50$$

Simplifica.

$$6y+4x=27,6y+6x=300$$

Resta 6y+6x=300 de 6y+4x=27 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6y-6y+4x-6x=27-300$$

Suma 6y a -6y. 6y e -6y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$4x-6x=27-300$$

Suma 4x a -6x.

$$-2x=27-300$$

Suma 27 a -300.

$$-2x=-273$$

Divide ambos lados entre -2.

$$x=\frac{273}{2}$$

Substitúe x por \frac{273}{2} en y+x=50. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y+\frac{273}{2}=50$$

Resta \frac{273}{2} en ambos lados da ecuación.

$$y=-\frac{173}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-\frac{173}{2},x=\frac{273}{2}$$