Resolver {l}{6x-1/3y=27}{4/5x+1/4y=25/4}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x - 1 / 3 y = 27 } \\ { 4 / 5 x + \frac { 1 } { 4 } y = 25 / 4 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=5$$

$$y=9$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$6x-\frac{1}{3}y=27,\frac{4}{5}x+\frac{1}{4}y=\frac{25}{4}$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$6x-\frac{1}{3}y=27$$

Suma \frac{y}{3} en ambos lados da ecuación.

$$6x=\frac{1}{3}y+27$$

Divide ambos lados entre 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(\frac{1}{3}y+27\right)$$

Multiplica \frac{1}{6} por \frac{y}{3}+27.

$$x=\frac{1}{18}y+\frac{9}{2}$$

Substitúe x por \frac{y}{18}+\frac{9}{2} na outra ecuación, \frac{4}{5}x+\frac{1}{4}y=\frac{25}{4}.

$$\frac{4}{5}\left(\frac{1}{18}y+\frac{9}{2}\right)+\frac{1}{4}y=\frac{25}{4}$$

Multiplica \frac{4}{5} por \frac{y}{18}+\frac{9}{2}.

$$\frac{2}{45}y+\frac{18}{5}+\frac{1}{4}y=\frac{25}{4}$$

Suma \frac{2y}{45} a \frac{y}{4}.

$$\frac{53}{180}y+\frac{18}{5}=\frac{25}{4}$$

Resta \frac{18}{5} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{53}{180}y=\frac{53}{20}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{53}{180}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=9$$

Substitúe y por 9 en x=\frac{1}{18}y+\frac{9}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{18}\times 9+\frac{9}{2}$$

Multiplica \frac{1}{18} por 9.

$$x=\frac{1+9}{2}$$

Suma \frac{9}{2} a \frac{1}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=5,y=9$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$6x-\frac{1}{3}y=27,\frac{4}{5}x+\frac{1}{4}y=\frac{25}{4}$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}6&-\frac{1}{3}\\\frac{4}{5}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\\frac{25}{4}\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}6&-\frac{1}{3}\\\frac{4}{5}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-\frac{1}{3}\\\frac{4}{5}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-\frac{1}{3}\\\frac{4}{5}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-\frac{1}{3}\\\frac{4}{5}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\\frac{25}{4}\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-\frac{1}{3}\\\frac{4}{5}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\\frac{25}{4}\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-\frac{1}{3}\\\frac{4}{5}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\\frac{25}{4}\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{4}}{6\times \frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{3}\times \frac{4}{5}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{6\times \frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{3}\times \frac{4}{5}\right)}\\-\frac{\frac{4}{5}}{6\times \frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{3}\times \frac{4}{5}\right)}&\frac{6}{6\times \frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{3}\times \frac{4}{5}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\\frac{25}{4}\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{106}&\frac{10}{53}\\-\frac{24}{53}&\frac{180}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\\frac{25}{4}\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{106}\times 27+\frac{10}{53}\times \frac{25}{4}\\-\frac{24}{53}\times 27+\frac{180}{53}\times \frac{25}{4}\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=5,y=9$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$6x-\frac{1}{3}y=27,\frac{4}{5}x+\frac{1}{4}y=\frac{25}{4}$$

Para que 6x e \frac{4x}{5} sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por \frac{4}{5} e todos os termos a cada lado da segunda por 6.

$$\frac{4}{5}\times 6x+\frac{4}{5}\left(-\frac{1}{3}\right)y=\frac{4}{5}\times 27,6\times \frac{4}{5}x+6\times \frac{1}{4}y=6\times \frac{25}{4}$$

Simplifica.

$$\frac{24}{5}x-\frac{4}{15}y=\frac{108}{5},\frac{24}{5}x+\frac{3}{2}y=\frac{75}{2}$$

Resta \frac{24}{5}x+\frac{3}{2}y=\frac{75}{2} de \frac{24}{5}x-\frac{4}{15}y=\frac{108}{5} mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$\frac{24}{5}x-\frac{24}{5}x-\frac{4}{15}y-\frac{3}{2}y=\frac{108}{5}-\frac{75}{2}$$

Suma \frac{24x}{5} a -\frac{24x}{5}. \frac{24x}{5} e -\frac{24x}{5} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-\frac{4}{15}y-\frac{3}{2}y=\frac{108}{5}-\frac{75}{2}$$

Suma -\frac{4y}{15} a -\frac{3y}{2}.

$$-\frac{53}{30}y=\frac{108}{5}-\frac{75}{2}$$

Suma \frac{108}{5} a -\frac{75}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$-\frac{53}{30}y=-\frac{159}{10}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{53}{30}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=9$$

Substitúe y por 9 en \frac{4}{5}x+\frac{1}{4}y=\frac{25}{4}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$\frac{4}{5}x+\frac{1}{4}\times 9=\frac{25}{4}$$

Multiplica \frac{1}{4} por 9.

$$\frac{4}{5}x+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$$

Resta \frac{9}{4} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{4}{5}x=4$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{4}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=5,y=9$$