Resolver {l}{6x+5y=5600}{55x+46y=51400}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 5 y = 5600 } \\ { 55 x + 46 y = 51400 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=600$$

$$y=400$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$6x+5y=5600,55x+46y=51400$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$6x+5y=5600$$

Resta 5y en ambos lados da ecuación.

$$6x=-5y+5600$$

Divide ambos lados entre 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-5y+5600\right)$$

Multiplica \frac{1}{6} por -5y+5600.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}$$

Substitúe x por -\frac{5y}{6}+\frac{2800}{3} na outra ecuación, 55x+46y=51400.

$$55\left(-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}\right)+46y=51400$$

Multiplica 55 por -\frac{5y}{6}+\frac{2800}{3}.

$$-\frac{275}{6}y+\frac{154000}{3}+46y=51400$$

Suma -\frac{275y}{6} a 46y.

$$\frac{1}{6}y+\frac{154000}{3}=51400$$

Resta \frac{154000}{3} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{1}{6}y=\frac{200}{3}$$

Multiplica ambos lados por 6.

$$y=400$$

Substitúe y por 400 en x=-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{5}{6}\times 400+\frac{2800}{3}$$

Multiplica -\frac{5}{6} por 400.

$$x=\frac{-1000+2800}{3}$$

Suma \frac{2800}{3} a -\frac{1000}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=600$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=600,y=400$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$6x+5y=5600,55x+46y=51400$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{46}{6\times 46-5\times 55}&-\frac{5}{6\times 46-5\times 55}\\-\frac{55}{6\times 46-5\times 55}&\frac{6}{6\times 46-5\times 55}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}46&-5\\-55&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}46\times 5600-5\times 51400\\-55\times 5600+6\times 51400\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}600\\400\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=600,y=400$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$6x+5y=5600,55x+46y=51400$$

Para que 6x e 55x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 55 e todos os termos a cada lado da segunda por 6.

$$55\times 6x+55\times 5y=55\times 5600,6\times 55x+6\times 46y=6\times 51400$$

Simplifica.

$$330x+275y=308000,330x+276y=308400$$

Resta 330x+276y=308400 de 330x+275y=308000 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$330x-330x+275y-276y=308000-308400$$

Suma 330x a -330x. 330x e -330x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$275y-276y=308000-308400$$

Suma 275y a -276y.

$$-y=308000-308400$$

Suma 308000 a -308400.

$$-y=-400$$

Divide ambos lados entre -1.

$$y=400$$

Substitúe y por 400 en 55x+46y=51400. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$55x+46\times 400=51400$$

Multiplica 46 por 400.

$$55x+18400=51400$$

Resta 18400 en ambos lados da ecuación.

$$55x=33000$$

Divide ambos lados entre 55.

$$x=600$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=600,y=400$$