Resolver {l}{6x+5y=27}{2x+y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 5 y = 27 } \\ { 2 x + y = 13 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{19}{2} = 9\frac{1}{2} = 9.5$$

$$y=-6$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$6x+5y=27,2x+y=13$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$6x+5y=27$$

Resta 5y en ambos lados da ecuación.

$$6x=-5y+27$$

Divide ambos lados entre 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-5y+27\right)$$

Multiplica \frac{1}{6} por -5y+27.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{9}{2}$$

Substitúe x por -\frac{5y}{6}+\frac{9}{2} na outra ecuación, 2x+y=13.

$$2\left(-\frac{5}{6}y+\frac{9}{2}\right)+y=13$$

Multiplica 2 por -\frac{5y}{6}+\frac{9}{2}.

$$-\frac{5}{3}y+9+y=13$$

Suma -\frac{5y}{3} a y.

$$-\frac{2}{3}y+9=13$$

Resta 9 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{2}{3}y=4$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{2}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-6$$

Substitúe y por -6 en x=-\frac{5}{6}y+\frac{9}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{5}{6}\left(-6\right)+\frac{9}{2}$$

Multiplica -\frac{5}{6} por -6.

$$x=5+\frac{9}{2}$$

Suma \frac{9}{2} a 5.

$$x=\frac{19}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{19}{2},y=-6$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$6x+5y=27,2x+y=13$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\13\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\13\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\13\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\13\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-5\times 2}&-\frac{5}{6-5\times 2}\\-\frac{2}{6-5\times 2}&\frac{6}{6-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\13\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{5}{4}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\13\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 27+\frac{5}{4}\times 13\\\frac{1}{2}\times 27-\frac{3}{2}\times 13\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{2}\\-6\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{19}{2},y=-6$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$6x+5y=27,2x+y=13$$

Para que 6x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 6.

$$2\times 6x+2\times 5y=2\times 27,6\times 2x+6y=6\times 13$$

Simplifica.

$$12x+10y=54,12x+6y=78$$

Resta 12x+6y=78 de 12x+10y=54 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$12x-12x+10y-6y=54-78$$

Suma 12x a -12x. 12x e -12x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$10y-6y=54-78$$

Suma 10y a -6y.

$$4y=54-78$$

Suma 54 a -78.

$$4y=-24$$

Divide ambos lados entre 4.

$$y=-6$$

Substitúe y por -6 en 2x+y=13. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x-6=13$$

Suma 6 en ambos lados da ecuación.

$$2x=19$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{19}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{19}{2},y=-6$$