Resolver {l}{6x+3y=25.95}{4x+6y=26.70}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 3 y = 25.95 } \\ { 4 x + 6 y = 26.70 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=3.15$$

$$y=2.35$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$6x+3y=25.95,4x+6y=26.7$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$6x+3y=25.95$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$6x=-3y+25.95$$

Divide ambos lados entre 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-3y+25.95\right)$$

Multiplica \frac{1}{6} por -3y+25.95.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{173}{40}$$

Substitúe x por -\frac{y}{2}+\frac{173}{40} na outra ecuación, 4x+6y=26.7.

$$4\left(-\frac{1}{2}y+\frac{173}{40}\right)+6y=26.7$$

Multiplica 4 por -\frac{y}{2}+\frac{173}{40}.

$$-2y+\frac{173}{10}+6y=26.7$$

Suma -2y a 6y.

$$4y+\frac{173}{10}=26.7$$

Resta \frac{173}{10} en ambos lados da ecuación.

$$4y=\frac{47}{5}$$

Divide ambos lados entre 4.

$$y=\frac{47}{20}$$

Substitúe y por \frac{47}{20} en x=-\frac{1}{2}y+\frac{173}{40}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{47}{20}+\frac{173}{40}$$

Multiplica -\frac{1}{2} por \frac{47}{20} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{-47+173}{40}$$

Suma \frac{173}{40} a -\frac{47}{40} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{63}{20}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{63}{20},y=\frac{47}{20}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$6x+3y=25.95,4x+6y=26.7$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{6\times 6-3\times 4}&-\frac{3}{6\times 6-3\times 4}\\-\frac{4}{6\times 6-3\times 4}&\frac{6}{6\times 6-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 25.95-\frac{1}{8}\times 26.7\\-\frac{1}{6}\times 25.95+\frac{1}{4}\times 26.7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{63}{20}\\\frac{47}{20}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{63}{20},y=\frac{47}{20}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$6x+3y=25.95,4x+6y=26.7$$

Para que 6x e 4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por 6.

$$4\times 6x+4\times 3y=4\times 25.95,6\times 4x+6\times 6y=6\times 26.7$$

Simplifica.

$$24x+12y=103.8,24x+36y=160.2$$

Resta 24x+36y=160.2 de 24x+12y=103.8 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$24x-24x+12y-36y=\frac{519-801}{5}$$

Suma 24x a -24x. 24x e -24x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$12y-36y=\frac{519-801}{5}$$

Suma 12y a -36y.

$$-24y=\frac{519-801}{5}$$

Suma 103.8 a -160.2 mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$-24y=-56.4$$

Divide ambos lados entre -24.

$$y=\frac{47}{20}$$

Substitúe y por \frac{47}{20} en 4x+6y=26.7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$4x+6\times \frac{47}{20}=26.7$$

Multiplica 6 por \frac{47}{20}.

$$4x+\frac{141}{10}=26.7$$

Resta \frac{141}{10} en ambos lados da ecuación.

$$4x=\frac{63}{5}$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{63}{20}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{63}{20},y=\frac{47}{20}$$