Resolver {l}{6x+2y=20}{-4x+y=-11}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 2 y = 20 } \\ { - 4 x + y = - 11 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$6x+2y=20,-4x+y=-11$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$6x+2y=20$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$6x=-2y+20$$

Divide ambos lados entre 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-2y+20\right)$$

Multiplica \frac{1}{6} por -2y+20.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}$$

Substitúe x por \frac{-y+10}{3} na outra ecuación, -4x+y=-11.

$$-4\left(-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}\right)+y=-11$$

Multiplica -4 por \frac{-y+10}{3}.

$$\frac{4}{3}y-\frac{40}{3}+y=-11$$

Suma \frac{4y}{3} a y.

$$\frac{7}{3}y-\frac{40}{3}=-11$$

Suma \frac{40}{3} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{7}{3}y=\frac{7}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{7}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en x=-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{-1+10}{3}$$

Suma \frac{10}{3} a -\frac{1}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=1$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$6x+2y=20,-4x+y=-11$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\-11\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-11\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-11\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-11\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-2\left(-4\right)}&-\frac{2}{6-2\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{6-2\left(-4\right)}&\frac{6}{6-2\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-11\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&-\frac{1}{7}\\\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-11\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 20-\frac{1}{7}\left(-11\right)\\\frac{2}{7}\times 20+\frac{3}{7}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=3,y=1$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$6x+2y=20,-4x+y=-11$$

Para que 6x e -4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -4 e todos os termos a cada lado da segunda por 6.

$$-4\times 6x-4\times 2y=-4\times 20,6\left(-4\right)x+6y=6\left(-11\right)$$

Simplifica.

$$-24x-8y=-80,-24x+6y=-66$$

Resta -24x+6y=-66 de -24x-8y=-80 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-24x+24x-8y-6y=-80+66$$

Suma -24x a 24x. -24x e 24x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-8y-6y=-80+66$$

Suma -8y a -6y.

$$-14y=-80+66$$

Suma -80 a 66.

$$-14y=-14$$

Divide ambos lados entre -14.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en -4x+y=-11. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-4x+1=-11$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$-4x=-12$$

Divide ambos lados entre -4.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=1$$